Variabel Acak

Ketika kita melempar dua dadu, ruang sampelnya berisi 36 pasangan hasil, dan peluang tiap pasangan bisa dihitung dengan aturan yang dipelajari pada Section Dasar Probabilitas. Analisis data, di sisi lain, hampir selalu bekerja dengan angka — jumlah mata, jumlah barang cacat, total pendapatan — bukan dengan pasangan hasil mentah. Jembatan antara keduanya adalah variabel acak: sebuah fungsi yang mengubah setiap hasil eksperimen menjadi angka. Chapter ini mendefinisikan variabel acak, membedakan bentuk diskret dan kontinu, lalu memperkenalkan tiga alat baca distribusinya: fungsi massa peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi kumulatif.

Variabel Acak: Fungsi dari Hasil Eksperimen ke Angka #

Variabel acak X adalah fungsi yang memetakan setiap hasil eksperimen acak ke tepat satu angka. Kata kuncinya adalah fungsi: input variabel acak adalah hasil di ruang sampel, output-nya adalah bilangan. Untuk dua dadu, variabel acak X = jumlah mata dadu memetakan pasangan (4, 3) ke angka 7 karena 4 + 3 = 7, dan memetakan pasangan (1, 1) ke angka 2. Tiga contoh pemetaannya terlihat seperti berikut:

Contoh kedua menunjukkan bahwa pemetaan tidak harus satu-satu: hasil yang berbeda boleh dipetakan ke angka yang sama. Tarik 5 kartu dari satu dek standar dan definisikan X = jumlah kartu As yang tertarik. Hasil eksperimennya adalah kombinasi 5 kartu yang jumlahnya sangat besar, tetapi X cukup merangkum semuanya menjadi salah satu dari lima nilai: 0, 1, 2, 3, atau 4 — karena sebuah dek hanya memuat empat kartu As.

Memisahkan istilah domain dan rentang menjaga kita tetap jujur tentang apa yang acak dan apa yang diukur. Domain adalah input fungsi, rentang adalah output-nya:

Diskret dan Kontinu #

Mengikuti pembagian jenis data pada chapter Jenis Data, variabel acak terbagi dua keluarga besar. Variabel acak diskret mengambil nilai yang bisa dihitung satu per satu — biasanya bilangan bulat — seperti jumlah mata dadu, jumlah pelanggan yang datang, atau jumlah unit cacat. Variabel acak kontinu mengambil nilai di dalam rentang bilangan yang tidak bisa dihitung satu per satu, seperti tinggi badan, berat badan, atau waktu penyelesaian satu pesanan.

Batas keduanya di dunia nyata tidak selalu terlihat dari data mentahnya. Tinggi badan tercatat sebagai 168 cm atau 168.3 cm tergantung ketelitian alat ukur, tetapi konsepnya tetap kontinu: di balik pembulatan pencatatan itu, nilai sesungguhnya dapat berada di titik mana pun pada garis bilangan. Jumlah kejadian seperti pelanggan yang datang tidak punya kemewahan itu — pelanggan datang dalam satuan bulat, satu per satu.

Notasi X ~ Distribusi #

Konvensi penulisan memakai huruf kapital untuk variabel acak (X, Y, Z) dan huruf kecil untuk nilai konkret (x, y, z). Pernyataan P(X = x) dibaca “peluang variabel acak X bernilai tepat x”. Konvensi kapital-kecil ini konsisten dipakai sepanjang section ini dan memudahkan kita membedakan fungsi acak dari hasil yang sudah terjadi.

Ketika hukum peluang sebuah variabel acak sudah dikenal, kita menulis X ~ D — simbol tilde (~) dibaca “mengikuti distribusi”. Empat penulisan yang akan muncul berulang kali di section ini:

Distribusi Peluang Jumlah Mata Dua Dadu #

Contoh penuh pertama kita adalah X = jumlah mata dua dadu. Ruang sampelnya memuat 36 hasil yang sama peluangnya. Untuk membentuk jumlah x, tersedia (6 − |x − 7|) pasangan hasil: jumlah 7 bisa dibentuk dari enam pasangan — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — sedangkan jumlah 2 dan 12 masing-masing hanya satu pasangan. Peluang tiap nilai karenanya mengikuti pola:

P(X = x) = (6 - |x - 7|) / 36    untuk x = 2, 3, ..., 12

Tabelnya naik teratur dari tepi, memuncak di tengah, lalu turun simetris:

Seluruh sebelas peluang berjumlah tepat 1 — syarat wajib setiap distribusi peluang. Pola ini juga simetris di sekitar 7: P(2) = P(12), P(3) = P(11), dan seterusnya, karena tiap jumlah x dan pasangan cerminnya (14 − x) selalu punya banyak cara membentuk yang sama. Nilai 7 muncul paling sering karena paling banyak pasangan hasil yang menghasilkannya.

Fungsi Massa Peluang (PMF) #

Fungsi massa peluang (probability mass function, PMF) adalah nama resmi untuk tabel peluang di atas: ia memberi peluang tiap nilai dari variabel acak diskret. Dua syaratnya berlaku untuk model peluang apa pun:

PMF:  p(x) = P(X = x)
syarat: 0 <= p(x) <= 1 untuk setiap x, dan Σ p(x) = 1

Kata “massa” memberi intuisi yang berguna: setiap nilai membawa seberat peluangnya sendiri, dan total berat seluruh nilai adalah tepat 1. PMF dua dadu yang kita hitung barusan adalah contoh lengkapnya — sebelas nilai, masing-masing dengan massa peluangnya, dengan massa terbesar 6/36 duduk tepat di tengah.

Dari PMF ke PDF pada Variabel Kontinu #

Untuk variabel kontinu, alatnya berganti nama menjadi fungsi densitas peluang (probability density function, PDF), dan pergantian ini bukan sekadar istilah. Pada variabel kontinu, peluang bernilai tepat satu titik adalah nol: P(X = x) = 0 untuk setiap x. Sebuah titik memiliki lebar nol pada garis bilangan, sehingga peluang tinggi badan tepat 168 cm — bukan 168.0000001, bukan 167.9999999 — bernilai nol.

kontinu: P(X = x) = 0 untuk setiap titik x
peluang hanya bermakna pada interval: P(a <= X <= b)

Analogi yang membantu adalah luas. PDF f(x) menggambar sebuah kurva, dan peluang variabel acak jatuh di antara a dan b adalah luas daerah di bawah kurva di antara kedua batas itu. Nilai f(x) sendiri boleh lebih besar dari 1 karena ia adalah kepadatan, bukan peluang — sama seperti kepadatan penduduk sebuah kota bisa mencapai ribuan orang per km² meski jumlah penduduknya terbatas. Semakin tinggi kurva di suatu wilayah, semakin padat peluang mengumpul di sana.

CDF: Peluang Kumulatif #

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function, CDF) menjumlahkan peluang sampai sebuah batas atas:

F(x) = P(X <= x)

Untuk dua dadu, F(7) = P(X <= 7) mencakup nilai 2 sampai 7, yang total pasangan hasilnya 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 dari 36, sehingga F(7) = 21/36 = 7/12 ≈ 0.5833 — peluang 58.33% jumlah mata tidak lebih dari tujuh. Pembaca chapter Distribusi Empiris akan mengenali bentuk tangganya: ECDF di sana dibangun dari data teramati, sedangkan CDF di sini dihitung dari model peluang. Keduanya menjawab pertanyaan yang sama — berapa banyak yang berada di bawah sebuah batas — dan CDF akan menjadi alat kerja utama ketika kita menghitung peluang “paling banyak” atau “kurang dari” pada distribusi binomial dan Poisson.

Menghitung PMF Dua Dadu dengan Python #

Module fractions dari standard library memungkinkan kita menghitung PMF dua dadu secara eksak, tanpa pembulatan desimal sama sekali:

from fractions import Fraction

pmf_dadu = {x: Fraction(6 - abs(x - 7), 36) for x in range(2, 13)}  # X = jumlah mata dua dadu

for x, p in pmf_dadu.items():
    print(f"P(X = {x:2d}) = {p} ≈ {float(p):.4f}")

print(f"total peluang = {sum(pmf_dadu.values())}")

Output yang Dihasilkan:

P(X =  2) = 1/36 ≈ 0.0278
P(X =  3) = 1/18 ≈ 0.0556
P(X =  4) = 1/12 ≈ 0.0833
P(X =  5) = 1/9 ≈ 0.1111
P(X =  6) = 5/36 ≈ 0.1389
P(X =  7) = 1/6 ≈ 0.1667
P(X =  8) = 5/36 ≈ 0.1389
P(X =  9) = 1/9 ≈ 0.1111
P(X = 10) = 1/12 ≈ 0.0833
P(X = 11) = 1/18 ≈ 0.0556
P(X = 12) = 1/36 ≈ 0.0278
total peluang = 1

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3 (dictionary comprehension): membangun pasangan nilai–peluang untuk x = 2 hingga 12 — komentar di ujung baris menegaskan arti variabelnya. Ekspresi 6 - abs(x - 7) menghitung banyaknya pasangan dadu yang menghasilkan jumlah x, lalu Fraction(..., 36) membaginya dengan 36 hasil ruang sampel — eksak dalam pecahan.
2. Baris 5-6 (loop pencetakan): menampilkan sebelas nilai PMF dengan tiga bentuk sekaligus: nilai x, pecahan eksak, dan desimalnya yang dibulatkan ke empat angka.
3. Baris 8 (validasi): sum(pmf_dadu.values()) menjumlahkan seluruh peluang dan menghasilkan 1 — pemeriksaan cepat bahwa syarat Σ p(x) = 1 terpenuhi.

Distribusi peluang kini menjawab “berapa peluang tiap nilai”, tetapi keputusan sehari-hari sering hanya membutuhkan satu angka ringkasan: hasil rata-rata apa yang diharapkan bila eksperimen diulang berkali-kali. Angka itu adalah expected value — pusat distribusi yang menjadi topik chapter berikutnya. Rujukan pengantar yang ringkas untuk variabel acak dan distribusinya tersedia pada NIST Engineering Statistics Handbook serta materi probabilitas Khan Academy .