Expected Value

Sebuah PMF bisa memuat sebelas baris angka seperti pada dua dadu, dan membacanya satu per satu melelahkan. Pertanyaan yang lebih sering diajukan jauh lebih pendek: kalau eksperimen ini diulang berkali-kali, berapa hasil rata-ratanya? Expected value menjawabnya dengan satu angka — pusat distribusi dalam arti jangka panjang. Chapter ini menghitung expected value dari tabel PMF, menunjukkan sifat linearitasnya, menurunkan varians dari definisi yang sama, lalu memakainya untuk menilai keuntungan warung dan keadilan sebuah permainan lotre.

Rumus Expected Value #

Untuk variabel acak diskret dengan PMF p(x), expected value didefinisikan sebagai:

E[X] = Σ x · P(X = x)

Setiap nilai x dikalikan peluangnya sendiri, lalu seluruh hasil kalinya dijumlahkan. Bobot peluang membuat nilai yang sering terjadi menyumbang besar dan nilai yang jarang menyumbang kecil. Interpretasinya adalah rata-rata jangka panjang: bila eksperimen diulang sangat banyak kali, rata-rata hasil pengamatan akan mendekati E[X] — bukan karena tiap percobaan menghasilkan E[X], melainkan karena penyimpangan ke atas dan ke bawah saling menimbang dalam jangka panjang.

Menghitung E untuk Jumlah Mata Dua Dadu #

Kita hitung penuh untuk X = jumlah mata dua dadu. Tabel berikut menambahkan kolom x · P(x) pada PMF chapter sebelumnya (desimal dibulatkan ke empat angka):

Menjumlahkan kolom ketiga:

E[X] = Σ x · P(X = x) = 252 / 36 = 7

Sumbangan terbesar datang dari x = 7 (sebesar 1.1667), wajar karena 7 adalah nilai yang paling sering terjadi. Simetri distribusi membuat hasil akhirnya jatuh tepat pada 7 — angka yang juga merupakan titik tengah rentang nilai 2 sampai 12. Inilah makna frasa “pusat distribusi”: nilai tumpuan bila seluruh massa peluang diseimbangkan.

Contoh Bisnis: Keuntungan per Transaksi Warung #

Pemilik warung tidak tahu hasil satu transaksi yang akan datang, tetapi polanya terbaca dari catatan: sebagian transaksi menghasilkan keuntungan penuh, sebagian berubah menjadi kerugian karena retur atau promo. Misalkan tiap transaksi membawa salah satu dari dua hasil berikut:

Expected keuntungannya:

E[keuntungan] = 15000 × 0.70 + (-5000) × 0.30
              = 10500 - 1500
              = 9000

Satu transaksi acak bisa untung Rp15.000 atau rugi Rp5.000, tetapi rata-rata jangka panjangnya adalah Rp9.000 per transaksi. Setelah 1.000 transaksi, warung berharap mengumpulkan sekitar 1000 × 9000 = Rp9.000.000 — angka yang jauh lebih stabil dan lebih berguna untuk perencanaan daripada hasil satu transaksi tunggal. Logika inilah yang dipakai asuransi untuk menetapkan premi dan pengelola risiko untuk menilai produk baru.

Sifat Linearitas Expected Value #

Expected value taat tiga aturan aljabar yang sangat praktis:

E[cX]    = c · E[X]
E[X + c] = E[X] + c
E[X + Y] = E[X] + E[Y]

Konsekuensinya: expected total belanja dua item bisa dihitung dari masing-masing item tanpa membangun distribusi gabungannya. Misalkan X = harga buku yang dipilih satu pelanggan dan Y = harga alat tulis yang menyertainya:

E[X]     = 20000×0.2 + 25000×0.5 + 30000×0.3 = 25500
E[Y]     = 10000×0.6 + 15000×0.4             = 12000
E[X + Y] = 25500 + 12000                     = 37500

Belanja rata-rata pelanggan yang membeli keduanya adalah Rp37.500, dihitung tanpa satu pun tabel kombinasi 3 × 2. Satu catatan penting: linearitas E[X + Y] = E[X] + E[Y] berlaku bahkan bila X dan Y saling bergantung. Syarat kebebasan (independensi) baru dibutuhkan ketika kita ingin menjumlahkan varians, bukan expected value.

Varians: Sebaran di Sekitar Expected Value #

Dua bisnis bisa punya expected value sama tetapi karakter berbeda: satu stabil di sekitar angka harapannya, satu lainnya melompat ekstrem ke dua arah. Varians mengukur perbedaan itu dari definisi yang masih berbasis expected value:

Var(X) = E[(X - E[X])²]
       = E[X²] - (E[X])²

Bentuk kanan adalah jalan hitung yang lebih pendek: hitung expected value dari kuadrat nilai, lalu kurangkan kuadrat expected value. Untuk dua dadu:

E[X²]  = Σ x² · P(X = x) = 1974 / 36 = 329/6 ≈ 54.8333
Var(X) = 329/6 - 7² = 329/6 - 294/6 = 35/6 ≈ 5.8333
sd(X)  = √(35/6) ≈ 2.4152

Simpangan baku 2.4152 memakai bahasa yang sudah dikenal dari chapter Standar Deviasi: jumlah mata dua dadu biasanya menyimpang sekitar dua poin dari angka 7. Semua perhitungan di atas eksak dalam pecahan; angka desimalnya dibulatkan ke empat tempat.

E[X] versus Rata-rata Sampel x̄ #

Chapter Parameter dan Statistik Sampel memisahkan μ milik populasi dari x̄ milik sampel — pasangan konsep yang sama berlaku di sini. E[X] dihitung dari model peluang dan berstatus parameter: nilainya tetap untuk satu distribusi. x̄ dihitung dari data teramati dan berstatus statistik sampel: nilainya berubah setiap kali sampel ditarik ulang.

Bila model benar, x̄ dari sampel acak akan berfluktuasi di sekitar E[X], dan seberapa jauh fluktuasi itu bisa dihitung adalah pokok bahasan Section Sampling dan Estimasi. Untuk sekarang, cukup dipisahkan dengan tegas: E[X] = 7 adalah pernyataan tentang model dadu yang sempurna; x̄ = 7.12 dari seratus lemparan hari Senin adalah fakta tentang sampel hari itu.

Permainan Adil: Ilustrasi Lotre #

Kata “adil” punya definisi matematis yang tepat: sebuah permainan disebut fair bila harga ikutnya sama dengan expected nilai kembaliannya. Uji sebuah lotre ilustrasi: tiket dijual Rp10.000, dan tepat satu dari 500 tiket memenangkan hadiah Rp2.000.000.

E[kembali]        = 2000000 × (1/500) = 4000
harga tiket       = 10000
expected kerugian = 10000 - 4000 = 6000 per tiket

Pemain satu malam bisa saja menang besar — itulah daya tariknya — tetapi pemain jangka panjang kehilangan rata-rata Rp6.000 per tiket, dan penyelenggara memperoleh keuntungan yang sama besarnya. Undian amal sering sengaja tidak fair karena tujuannya memang mengumpulkan dana; asuransi bekerja ke arah sebaliknya dengan premi yang menutup expected klaim ditambah biaya operasional. Warung kita di atas memakai logika yang sama: E positif Rp9.000 per transaksi berarti jangka panjang menguntungkan, dan besaran itulah — bukan hasil hari ini — yang layak dijadikan dasar keputusan.

Verifikasi dengan Python #

Perhitungan dua dadu bisa dicek eksak dengan module fractions:

from fractions import Fraction

pmf_dadu = {x: Fraction(6 - abs(x - 7), 36) for x in range(2, 13)}

E = sum(Fraction(x) * p for x, p in pmf_dadu.items())
E_kuadrat = sum(Fraction(x * x) * p for x, p in pmf_dadu.items())
var = E_kuadrat - E ** 2

print(f"E[X]   = {E}  ≈ {float(E):.4f}")
print(f"E[X²]  = {E_kuadrat}  ≈ {float(E_kuadrat):.4f}")
print(f"Var(X) = {var}  ≈ {float(var):.4f}")
print(f"sd(X)  ≈ {float(var) ** 0.5:.4f}")

Output yang Dihasilkan:

E[X]   = 7  ≈ 7.0000
E[X²]  = 329/6  ≈ 54.8333
Var(X) = 35/6  ≈ 5.8333
sd(X)  ≈ 2.4152

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3 (dictionary PMF): membangun kembali PMF dua dadu dengan Fraction — pola yang sama dengan chapter Variabel Acak.
2. Baris 5 (E[X]): menjumlahkan x · P(x) tertimbang; hasilnya 7 tanpa pembulatan apa pun.
3. Baris 6 (E[X²]): menjumlahkan x² · P(x) — perhatikan x * x dikerjakan sebelum dikalikan peluang, menghasilkan 329/6.
4. Baris 7 (Var): menghitung E[X²] − (E[X])² secara eksak; hasilnya 35/6, bukan desimal.
5. Baris 9-12 (pencetakan): float(...) mengubah tiap pecahan ke desimal dengan pembulatan empat angka, dan ** 0.5 menghitung akar kuadrat untuk simpangan baku.

Expected value merangkum pusat distribusi dan varians merangkum sebarannya — mesin penghitung yang sama akan dipakai berulang kali untuk tiap keluarga distribusi. Keluarga pertama yang kita bedah adalah yang paling sederhana sekaligus paling dasar: satu percobaan dengan dua hasil, distribusi Bernoulli. Penurunan sifat expected value yang lebih formal bisa ditelusuri pada buku OpenIntro Statistics dan materi Penn State STAT 500 .