Distribusi t-Student

Kalkulasi normal pada chapter sebelumnya menikmati satu asumsi kemewahan: σ populasi diketahui. Pada survei dan eksperimen nyata, simpangan baku populasi hampir tidak pernah tersedia — yang ada hanyalah s dari sampel yang kebetulan kita pegang. Mengganti σ dengan s bukan penggantian yang pasif: s sendiri berfluktuasi antar sampel, dan ketidakpastian ekstra itu mengubah distribusi statistik yang kita hitung. William Sealy Gosset, yang menghadapi masalah persis ini pada sampel kecil di pabrik bir Guinness awal abad ke-20, memetakan distribusi penggantinya dan menerbitkannya dengan nama pena “Student” — asal nama distribusi t-Student yang kita pakai sampai sekarang.

Masalah: σ Populasi Tidak Diketahui #

Chapter Parameter dan Statistik Sampel menetapkan pembagian kerja: μ dan σ milik populasi, x̄ dan s milik sampel. Ketika kita menstandarisasi rata-rata sampel terhadap μ memakai simpangan baku yang ditaksir, statistiknya menjadi:

t = (x̄ - μ) / (s / √n)

Bentuknya sama dengan z-score untuk mean — hanya σ diganti s. Perbedaannya besar: pembagi s/√n kini variabel acak tersendiri, karena sampel yang berbeda memberikan s yang berbeda. Ketika n besar, s menempel dekat ke σ sehingga akibat penggantiannya kecil. Ketika n kecil, fluktuasi s mendorong peluang ke arah ekor, dan distribusi t menjadi lebih gemuk dari normal — peluang nilai ekstrem justru lebih besar daripada yang dikira distribusi normal.

Bentuk Kurva dan Derajat Kebebasan #

Satu-satunya parameter baru pada t adalah derajat kebebasan (degree of freedom) df = n − 1: banyaknya data independen yang tersisa setelah satu besaran — x̄ — ditaksir dari sampel yang sama. Bentuknya tetap lonceng simetris di sekitar nol, tetapi ekornya lebih tebal dari normal baku. Tabel berikut membandingkan P(T > 2), peluang nilai t melampaui 2, untuk beberapa df (semua dibulatkan ke empat desimal):

Pada df = 1, peluang di kanan 2 mencapai 0.1476 — hampir tujuh kali lipat dari normal (0.0228). Menjelang df = 30 selisihnya menipis menjadi 0.0045, dan pada df yang sangat besar t praktis menyatu dengan normal. Baris terakhir tabel itulah alasan matematisnya: t memang dirancang konvergen ke normal begitu ketidakpastian s menghilang. Arah tebalnya juga logis — makin sedikit data, makin lebar ketidakpastian s, makin tebal ekor yang dibutuhkan agar peluang tetap jujur.

Kapan Memakai t, Kapan z #

Kolom ketiga bukan kemalasan teoretis: pada era tabel cetak, tabel t jarang tersedia untuk ratusan df, dan nilainya nyaris tidak terbedakan dari z. Perangkat lunak modern menghitung t eksak untuk df berapa pun, sehingga aturan “30” lebih tepat dibaca sebagai pedoman membaca laporan orang lain daripada ambang resmi — bila perangkat Anda menghitung t dengan mudah, pakai t untuk kondisi σ tidak diketahui, sekecil apa pun selisih praktisnya.

Contoh Numerik: Enam Belas Siswa #

Tim pengukur mencatat tinggi sampel 16 siswa dan memperoleh rata-rata x̄ = 170.2 cm dengan simpangan baku sampel s = 4.4 cm. Klaim baku sekolah menyebut μ = 168 cm. Berapa peluang rata-rata sampel sebesar itu terjadi bila klaim μ benar? Statistik ujinya:

t = (170.2 - 168) / (4.4 / √16)
  = 2.2 / 1.1
  = 2.0        dengan df = n - 1 = 15

Peluang t melampaui 2.0 pada df = 15:

P(T > 2.0; df = 15) = 0.0320    (dibulatkan ke empat desimal)

Sebagai pembanding, bila kita sembarangan memakai normal: P(Z > 2) = 0.0228. Nilai t yang benar lebih besar — 0.0320 — karena menaksir σ dari hanya 16 data menambah ketidakpastian. Selisih 0.0092 terlihat kecil, tetapi bila rata-rata sampelnya sedikit lebih rendah sehingga statistiknya jatuh di sekitar ambang keputusan, pilihan t atau z dapat membalik kesimpulan menolak atau mempertahankan klaim μ — mekanisme keputusan formalnya menanti Section Pengujian Hipotesis.

Hubungan dengan Confidence Interval #

Peran t yang paling sering dijumpai pembaca laporan adalah rentang kepercayaan (confidence interval) untuk μ, dengan bentuk umum x̄ ± t · s/√n. Untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = 15, kuantil t yang dipakai adalah 2.1314 — lebih besar dari kuantil normal 1.96 pada level yang sama. Akibat langsungnya: interval dari sampel kecil lebih lebar daripada yang dijanjikan normal, dan selisih lebar itu adalah harga yang dibayar karena σ tidak diketahui. Perhitungan rentang penuh — bagaimana angka 2.1314 dipakai, dan bagaimana menafsirkan hasilnya — adalah pokok bahasan utama Section Sampling dan Estimasi; cukup dicatat di sini bahwa seluruh angkanya lahir dari tabel t di atas.

Menghitung dengan Python #

t dan norm dari scipy.stats menghitung tabel ekor dan contoh dalam satu blok:

from scipy.stats import t, norm

print(f"{'df':>6} {'P(T > 2)':>9}")
for df in (1, 5, 10, 30):
    print(f"{df:>6} {t.sf(2, df):>9.4f}")
print(f"{'normal':>6} {norm.sf(2):>9.4f}")

t_stat = (170.2 - 168) / (4.4 / 16**0.5)
print(f"\nt contoh  : {t_stat:.2f}")
print(f"P(T > 2, df = 15) = {t.sf(2, 15):.4f}")

Output yang Dihasilkan:

    df  P(T > 2)
     1    0.1476
     5    0.0510
    10    0.0367
    30    0.0273
normal    0.0228

t contoh  : 2.00
P(T > 2, df = 15) = 0.0320

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 1 (import): memuat t dan norm sekaligus — baris “normal” pada tabel sengaja dihitung dengan norm sebagai pembanding konvergensi.
2. Baris 3-6 (tabel ekor): t.sf(2, df) menghitung P(T > 2) untuk df 1, 5, 10, 30 — sf (survival function) adalah pelengkap cdf: sf = 1 − cdf.
3. Baris 8-10 (contoh): statistik t dihitung persis dari rumus (170.2 − 168)/(4.4/√16) menghasilkan 2.00, lalu t.sf(2, 15) memberi peluang ekornya 0.0320 — semua nilai dibulatkan ke empat desimal.

Dengan t-Student, deretan lima distribusi inti section ini lengkap: Bernoulli untuk satu percobaan, binomial untuk jumlah sukses, Poisson untuk laju kejadian, normal untuk besaran kontinu dengan σ diketahui, dan t untuk rata-rata sampel kecil. Chapter penutup merangkai semuanya menjadi satu peta keputusan — pertanyaan seperti apa dipandu oleh distribusi seperti apa. Penurunan formal distribusi t dan sejarah Gosset bisa ditelusuri pada materi Penn State STAT 500 serta dokumentasi scipy.stats .