Call center menerima panggilan kapan saja sepanjang hari; tidak ada “jumlah percobaan tetap” yang bisa dihitung lebih dulu seperti sepuluh siswa atau dua puluh unit produk. Yang bisa diukur adalah laju kedatangannya: rata-rata tiga panggilan per jam, rata-rata dua unit cacat per batch. Distribusi Poisson memodelkan jumlah kejadian pada satuan waktu atau ruang seperti itu — dan menjadi alat standar untuk antrian, kedatangan pelanggan, serta cacat produk. Chapter ini membaca rumusnya, menghitung peluang operasional sebuah call center, lalu menunjukkan kaitannya dengan binomial ketika kejadiannya langka.

Kejadian per Satuan Waktu atau Ruang #

Variabel acak Poisson menghitung berapa kali sebuah kejadian terjadi dalam satu interval: satu jam, satu hari, satu batch, satu meter kain, atau satu halaman naskah. Satu-satunya parameternya adalah λ (dibaca “lambda”): laju rata-rata kejadian per satuan yang sama. Bila call center rata-rata menerima tiga panggilan per jam, modelnya ditulis X ~ Poisson(3) dengan X = jumlah panggilan pada satu jam yang dipilih acak; nilai X boleh 0, 1, 2, dan seterusnya tanpa batas atas tetap.

Satuan waktunya bisa diskalakan selama lajunya konstan. Laju tiga panggilan per jam berarti 1.5 panggilan per 30 menit dan 0.05 panggilan per menit — λ menyesuaikan proporsional dengan panjang interval, sedangkan bentuk hukum peluangnya tidak berubah. Kebebasan memilih satuan inilah yang membuat Poisson lentur dipakai lintas masalah, dari beban server per menit hingga salah ketik per halaman.

Tiga Syarat Poisson #

Model Poisson sah bila kejadian yang dihitung memenuhi tiga syarat:

  1. Kejadian bebas: terjadinya satu panggilan tidak mengubah peluang panggilan lain datang.
  2. Laju konstan: rata-rata per satuan tidak berubah antar interval yang dibandingkan.
  3. Kejadian terjadi satu per satu: dua kejadian pada saat yang persis sama tidak mungkin terjadi.

Dunia nyata kerap melanggarnya. Jam sibuk dan jam sepi punya laju berbeda, sehingga syarat kedua tidak terpenuhi bila kita memaksakan satu λ untuk seharian — solusinya memodelkan per blok waktu masing-masing. Pelanggan yang datang karena melihat antrean ramai melanggar syarat pertama; untuk fenomena seperti itu tersedia model antrian yang lebih kaya, dengan Poisson sebagai titik awalnya.

Rumus PMF Poisson #

Peluang tepat k kejadian dalam satu interval dirumuskan:

text 
P(X = k) = e^(-λ) · λ^k / k!

e ≈ 2.71828 (bilangan Euler)
k! = faktorial, contoh 3! = 3 × 2 × 1 = 6

Tiga komponennya bekerja bersama. λ^k membuat nilai besar k semakin ditimbang berat, sementara k! di penyebut mengimbanginya dengan cepatnya pertumbuhan susunan kejadian — k! naik sangat cepat sehingga peluang nilai k yang jauh di atas λ mengecil tajam. Faktor e^(-λ) adalah konstanta penormalk: tanpa faktor ini, barisan peluang tidak akan berjumlah tepat 1, sebagaimana pembagi 36 menjaga total dadu tetap utuh.

Contoh: Panggilan Call Center #

Untuk X ~ Poisson(3), peluang satu jam berjalan tanpa panggilan sama sekali:

text 
P(X = 0) = e^(-3) · 3^0 / 0! = e^(-3) ≈ 0.0498

Peluang tepat tiga panggilan — nilai tepat di λ:

text 
P(X = 3) = e^(-3) · 3^3 / 3! = 4.5 × e^(-3) ≈ 0.2240

Nilai k = 3 memang peluang terbesar pada tabel ini, konsisten dengan intuisi “rata-rata tiga panggilan per jam”. Pertanyaan operasional yang sering ditanyakan manajer adalah kebalikannya: peluang jam yang cukup sepi, misalnya paling banyak dua panggilan. Karena X bilangan bulat, P(X ≤ 2) dijumlahkan dari tiga suku — tugas yang di chapter sebelumnya kita serahkan ke CDF:

text 
P(X <= 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
          = 0.0498 + 0.1494 + 0.2240
          ≈ 0.4232    (dibulatkan ke empat desimal)

Artinya 42.32% jam berjalan dengan dua panggilan atau kurang. Angka semacam ini adalah bahan baku penjadwalan operator: bila standar layanan menuntut jawaban cepat, blok waktu sepi bisa diisi tugas lain tanpa takut beban melonjak.

Mean dan Varians yang Sama #

Satu keunikan Poisson layak dicetak tebal:

text 
E[X] = λ    dan    Var(X) = λ

Satu parameter sekaligus menjadi pusat dan ukuran sebaran distribusi. Konsekuensinya bisa diuji langsung dari data: catat jumlah kejadian per interval selama beberapa periode, hitung mean dan variansnya, lalu bandingkan. Bila mean tercatat 3 tetapi varians menembus 9, data terlalu menyebar untuk Poisson murni — pertanda syarat kejadian bebas atau laju konstan dilanggar, dan model perlu ditinjau ulang sebelum dipakai menghitung peluang apa pun.

Tabel PMF untuk λ = 2 #

Batch produksi dengan rata-rata 2 unit cacat per batch memakai tabel berikut (semua nilai dibulatkan ke empat desimal):

kP(X = k)
00.1353
10.2707
20.2707
30.1804
40.0902
50.0361
60.0120

Dua nilai k = 1 dan k = 2 berbagi puncak 0.2707 — keduanya mengapit λ = 2. Tujuh baris ini sudah mencakup 0.9955 dari seluruh peluang; sisa 0.0045 tersebar pada k = 7 ke atas dengan nilai yang mengecil cepat, sehingga tabel praktis jarang perlu memuat lebih dari sepuluh baris. Toko yang rata-rata dikunjungi 12 pelanggan per jam memakai struktur tabel yang persis sama dengan Poisson(12) — hanya λ-nya yang berubah, bukan cara membacanya.

Hukum Kejadian Langka #

Poisson dan binomial bertemu di satu wilayah penting: binomial dengan n besar dan p kecil berkumpul ke Poisson dengan λ = n · p. Contohnya sistem yang memproses 100 transaksi dengan peluang galat 0.03 per transaksi: model binomialnya B(100, 0.03) memiliki λ = np = 3. Peluang tepat satu galat dari kedua model:

text 
binomial  : P(X = 1) = C(100,1) · 0.03 · 0.97^99 ≈ 0.1471
Poisson   : P(X = 1) = 3 · e^(-3)               ≈ 0.1494

Selisihnya hanya 0.0023 — kecil dibanding kepraktisannya. Menghitung C(100, 1) × 0.97^99 dengan tangan melelahkan; menghitung 3 × e^(-3) tidak. Pedoman kasar yang umum dipakai: pendekatan layak ketika n puluhan ke atas dan p di bawah 0.1, dan makin kuat makin besar n disertai makin kecil p dengan λ = np tetap moderat. Inilah sebabnya Poisson sering dijuluki distribusi kejadian langka: kejadian yang jarang terjadi tapi bercampur dalam jumlah percobaan sangat banyak.

Menghitung dengan Python #

poisson dari scipy.stats menuntaskan seluruh tabel λ = 2 dalam beberapa baris:

python 
from scipy.stats import poisson

lambd = 2  # "lambda" adalah kata kunci Python, gunakan lambd

print(f"{'k':>3} {'P(X = k)':>9}")
for k in range(7):
    print(f"{k:>3} {poisson.pmf(k, lambd):>9.4f}")

print(f"E[X] = Var(X) = λ = {poisson.mean(lambd):.2f}")

Output yang Dihasilkan:

text 
  k  P(X = k)
  0    0.1353
  1    0.2707
  2    0.2707
  3    0.1804
  4    0.0902
  5    0.0361
  6    0.0120
E[X] = Var(X) = λ = 2.00

Mari kita bedah kode di atas:

  1. Baris 3 (penamaan): variabel diberi nama lambd karena lambda adalah kata kunci Python yang tidak boleh dipakai sebagai nama variabel.
  2. Baris 5-7 (tabel PMF): loop k = 0 sampai 6 mencetak PMF empat desimal — cocok baris demi baris dengan tabel manual di atas.
  3. Baris 9 (konfirmasi keunikan): .mean menghasilkan 2.00, dan pada Poisson nilai ini sekaligus varians dan λ itu sendiri.

Bernoulli, binomial, dan Poisson melengkapi kotak peralatan diskret kita: satu percobaan, jumlah sukses dari n percobaan, dan jumlah kejadian per satuan. Berikutnya kita berpindah keluarga besar — dari menghitung kejadian ke mengukur besaran kontinu — dimulai dari kurva lonceng paling terkenal dalam statistika, distribusi normal. Rujukan ringkas tiap distribusi, termasuk halaman Poisson, tersedia pada NIST Engineering Statistics Handbook .