Distribusi Normal

Tinggi badan, nilai ulangan, galat timbangan: banyak besaran kontinu menumpuk di nilai tengah dan menipis ke kedua ujung, membentuk kurva lonceng simetris. Distribusi normal adalah model matematis untuk pola itu — sekaligus distribusi terpenting di seluruh statistika karena perannya dalam inferensi. Chapter ini membaca bentuk kurva dan parameternya, memakai aturan empiris 68-95-99.7, lalu menghitung peluang nyata lewat standarisasi z-score dan kuantil terbalik pada contoh tinggi badan siswa.

Bentuk Lonceng dan Dua Parameternya #

Distribusi normal ditentukan hanya dua parameter: μ menempatkan pusat kurva, dan σ mengatur lebarnya. Simetrinya sempurna di sekitar μ sehingga mean, median, dan modus bertemu di satu titik — tiga ukuran pusat yang pada chapter Mean, Median, dan Modus kita bandingkan dengan hati-hati kini jatuh pada angka yang sama. Perubahan μ menggeser kurva tanpa mengubah bentuknya; perubahan σ meratakan dan melebarkan kurva tanpa menggeser pusatnya.

Notasi ringkasnya X ~ N(μ, σ²). Tinggi badan siswa dengan rata-rata 168 cm dan simpangan baku 7 cm ditulis X ~ N(168, 49) — perhatikan bahwa parameter keduanya adalah varians σ², bukan simpangan baku; kekeliruan membaca σ² sebagai σ adalah salah baca notasi yang paling sering terjadi.

Fungsi Densitas Peluang #

Bentuk eksplisit kurvanya adalah:

f(x) = (1 / (σ · √(2π))) · e^(-(x - μ)² / (2σ²))

Kita tidak perlu — dan tidak akan — menghitung rumus ini dengan tangan. Cukup dikenali komponennya: (x − μ)² mengukur jarak kuadrat dari pusat sehingga nilai yang jauh dari μ berpeluang jauh lebih kecil; pembagi 2σ² membuat σ yang besar menimbang jarak lebih ringan sehingga kurva melebar; dan faktor 1/(σ·√(2π)) menormalkan total luas di bawah kurva menjadi tepat 1. Konstanta e ≈ 2.71828 dan π ≈ 3.14159 menjaga bentuknya mulus melandai ke kedua arah tanpa pernah benar-benar menyentuh nol.

Aturan Empiris 68-95-99.7 #

Berapa banyak nilai yang jatuh pada jarak tertentu dari μ? Untuk distribusi normal, jawabannya teratur dan layak diingat:

Angka-angka ini — dihitung dari luas kurva dan dibulatkan ke dua desimal — berlaku untuk distribusi normal apa pun nilainya μ dan σ, sebab hanya jarak dalam satuan σ yang menentukan luasnya. Hampir seluruh nilai (99.73%) berada dalam tiga simpangan baku; hanya 0.27% yang berada lebih jauh — akar dari pemeriksaan outlier yang sudah kita pakai pada chapter Z-Score. Sketsa berikut memperlihatkan ketiga zona itu pada kurva:

                                    f(x)
                                    *****
                                 ***********
                               ***************
                             *******************
                            *********************
                          *************************
                        *****************************
                     ***********************************
                 *******************************************
          |        |         |        |        |         |        |
         -3σ      -2σ       -1σ       μ       +1σ       +2σ      +3σ

                             <----- 68.27% ----->
                   <--------------- 95.45% --------------->
          <------------------------ 99.73% ------------------------>

Aturan ini hanya sah untuk bentuk lonceng. Chapter Skewness telah memeringatkan bahwa pada data miring seperti pendapatan para pedagang — skewness 1.80 — aturan 68-95-99.7 melenceng jauh karena ekor kanan membawa massa peluang yang tidak simetris. Memeriksa bentuk sebelum memakai aturan empiris adalah kebiasaan yang murah tapi menyelamatkan analisis.

Standarisasi ke z-score #

Peluang normal apa pun dapat dihitung dari satu tabel yang sama lewat standarisasi — teknik yang dikenalkan pada chapter Z-Score dan Standardisasi Data:

z = (x - μ) / σ

X ~ N(μ, σ²)  ->  Z ~ N(0, 1)

Setelah dikurangi μ dan dibagi σ, nilai z mengukur jarak x dari pusat dalam satuan simpangan baku, dan Z mengikuti normal baku: pusat 0, simpangan baku 1. Peluang P(Z ≤ z) tinggal dibaca dari tabel z standar. Contoh membaca tabel: P(Z ≤ 1.96) ≈ 0.9750 — artinya 97.5% luas berada di kiri 1.96, dan hanya 2.5% di kanannya. Angka 1.96 ini akan muncul berulang kali pada Section Sampling dan Estimasi serta Pengujian Hipotesis, karena posisinya tepat memotong 2.5% di tiap ekor — sisa 95% di tengah.

Contoh: Tinggi Badan Siswa #

Tinggi badan siswa sebuah sekolah menengah (data ilustrasi) menyebar normal dengan μ = 168 cm dan σ = 7 cm. Tiga pertanyaan berturut-turut menunjukkan mekanismenya. Pertama, peluang siswa bertinggi paling banyak 175 cm — standarisasikan lalu baca:

z = (175 - 168) / 7 = 1
P(X <= 175) = P(Z <= 1) = 0.8413

Kedua, peluang siswa lebih tinggi dari 180 cm — z = (180 − 168)/7 = 12/7 ≈ 1.7143:

P(X > 180) = 1 - P(Z <= 1.7143) = 1 - 0.9568 = 0.0432

Hanya 4.32% siswa melewati 180 cm — ekor kanan yang menipis. Ketiga, peluang tinggi antara 161 dan 175 cm — persis rentang μ ± 1σ:

P(161 < X < 175) = P(-1 < Z < 1) = 0.6827

Angka terakhir adalah aturan empiris bekerja secara langsung: 68.27% siswa berada dalam satu simpangan baku dari rata-rata. Ketiga hasil dibulatkan ke empat desimal, dan pola hitungnya selalu sama — pindahkan soal ke skala z, baca peluangnya, lalu kembalikan ke satuan asli bila diperlukan.

Kuantil Terbalik: dari Peluang ke Nilai #

Kadang arah soal dibalik: dari peluang, kita mencari batas nilainya. Batas persentil ke-90 tinggi badan — nilai yang hanya dilampaui 10% siswa — dicari dengan kuantil terbalik (di SciPy bernama ppf, percent point function):

z ke-90 = 1.2816
x = μ + z · σ = 168 + 1.2816 × 7 ≈ 176.97 cm

Sekolah yang merancang kursi laboratorium tinggi khusus, misalnya, dapat memakai 176.97 cm sebagai ambang 10% teratas populasi siswa. Kuantil terbalik adalah cermin dari cdf: cdf membawa nilai ke peluang, ppf membawa peluang kembali ke nilai.

Mengapa Normal Sebegitu Penting #

Dua alasan menjelaskan status istimewa normal. Pertama, teorema limit terpusat (Central Limit Theorem) — yang akan dibuktikan pada Section Sampling dan Estimasi — menjamin rata-rata sampel dari hampir semua distribusi akan menyebar mendekati normal bila ukuran sampel cukup besar; normal bukan pilihan selera, melainkan akibat matematis dari penjumlahan banyak pengaruh kecil. Kedua, seperangkat metode statistika klasik — uji t, analisis variansi, regresi linear — dibangun di atas asumsi normal pada galatnya, sehingga membaca dan memeriksa distribusi normal adalah pintu masuk ke seluruh metode itu.

Menghitung dengan Python #

norm dari scipy.stats menghitung ketiga jenis peluang plus kuantil dalam satu blok:

from scipy.stats import norm

mu, sigma = 168, 7

print(f"P(X <= 175)       = {norm.cdf(175, mu, sigma):.4f}")
print(f"P(X > 180)        = {1 - norm.cdf(180, mu, sigma):.4f}")
print(f"P(161 < X < 175)  = {norm.cdf(175, mu, sigma) - norm.cdf(161, mu, sigma):.4f}")
print(f"persentil ke-90   = {norm.ppf(0.90, mu, sigma):.2f} cm")

Output yang Dihasilkan:

P(X <= 175)       = 0.8413
P(X > 180)        = 0.0432
P(161 < X < 175)  = 0.6827
persentil ke-90   = 176.97 cm

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3 (parameter): menetapkan μ = 168 dan σ = 7; mengganti keduanya otomatis mengubah seluruh hasil tanpa mengubah kode.
2. Baris 5 (cdf): norm.cdf(175, mu, sigma) menghitung P(X ≤ 175) langsung pada skala cm — standarisasi ke z dilakukan internal oleh function.
3. Baris 6 (ekor kanan): P(X > 180) dihitung sebagai 1 − cdf; pola pelengkap ini berlaku untuk semua ekor kanan.
4. Baris 7 (rentang): peluang interval dihitung sebagai selisih dua cdf — P(161 < X < 175) = cdf(175) − cdf(161).
5. Baris 8 (ppf): kuantil terbalik dari 0.90 memberi 176.97 cm, dibulatkan ke dua desimal — kebalikan arah dari cdf.

Seluruh kalkulasi normal di chapter ini diam-diam memakai satu asumsi kemewahan: σ populasi diketahui. Pada data nyata, simpangan baku populasi hampir tidak pernah tersedia — yang ada hanya s dari sampel. Mengganti σ dengan s pada sampel kecil mengubah distribusi menjadi lebih gemuk di ekor, dan bentuk barunya bernama t-Student, topik chapter berikutnya. Halaman distribusi normal pada NIST Engineering Statistics Handbook menjadi rujukan ringkas untuk tabel dan sifatnya.