Pertanyaan analisis sering bergeser dari satu percobaan ke banyak: dari sepuluh siswa yang mengerjakan tugas, berapa yang selesai? Dari dua puluh unit produk, berapa yang cacat? Jumlah sukses dari deretan percobaan seperti ini mengikuti distribusi binomial — distribusi diskret yang paling sering dipakai dalam praktik. Chapter ini menetapkan empat syaratnya, membaca rumus PMF-nya selapis demi selapis, lalu menghitung contoh dari ruang kelas dan lini produksi hingga tabel PMF lengkap untuk lima lemparan koin.

Syarat Distribusi Binomial #

Variabel acak X = jumlah sukses mengikuti distribusi binomial hanya bila eksperimennya memenuhi empat syarat sekaligus:

  1. Jumlah percobaan tetap: n ditetapkan sebelum eksperimen berjalan — 10 siswa, 20 unit produk, 50 pesanan.
  2. Dua hasil per percobaan: tiap percobaan hanya menghasilkan sukses atau gagal; tiap unit adalah satu Bernoulli.
  3. Peluang sukses konstan: p bernilai sama untuk seluruh percobaan.
  4. Percobaan bebas: hasil satu percobaan tidak mengubah peluang percobaan lain.

Notasi ringkasnya X ~ B(n, p). Sepuluh siswa dengan peluang menyelesaikan tugas 0.7 ditulis X ~ B(10, 0.7), dan X mengambil nilai 0 sampai 10. Pelanggaran paling umum menyasar syarat ketiga dan keempat: kelompok siswa yang mengerjakan tugas bersama tidak bebas karena kecepatan satu anggota memengaruhi peluang lainnya, dan peluang keberhasilan yang naik setelah program remedial melanggar konstansi p. Bila salah satu syarat tidak terpenuhi, label binomial tidak lagi sah — dan peluang yang dihitung darinya meleset.

Rumus PMF Binomial #

Peluang mendapat tepat k sukses dari n percobaan dirumuskan:

text 
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k)

C(n, k) = n! / (k! · (n-k)!)   (kombinasi)

C(n, k) adalah banyaknya cara memilih k dari n tanpa memedulikan urutan. Faktor p^k menyumbang peluang k kejadian sukses, dan (1-p)^(n-k) menyumbang peluang sisa n − k kegagalan. Mengapa dua faktor itu harus dikalikan C(n, k)? Karena urutan tidak penting: barisan sukses-gagal-gagal, gagal-sukses-gagal, dan gagal-gagal-sukses sama-sama menghasilkan k = 1, dan tiap barisan spesifik berpeluang sama p · (1-p)². Banyaknya barisan berbeda yang memuat tepat k sukses adalah tepat C(n, k), sehingga total peluangnya adalah C(n, k) dikali peluang satu barisan.

Untuk contoh kita n = 10 dan k = 8:

text 
C(10, 8) = 10! / (8! · 2!) = 45

Artinya ada 45 pola barisan berbeda yang sama-sama menghasilkan delapan sukses — dari SSSSSSSSGG sampai GGSSSSSSSS — dan tiap pola berpeluang identik 0.7^8 × 0.3^2.

Contoh: Sepuluh Siswa Mengerjakan Tugas #

Guru menetapkan p = 0.7 dari pengalaman tahun-tahun sebelumnya: 70% siswa menyelesaikan tugas tepat waktu. Untuk kelas berisi 10 siswa, peluang tepat 8 siswa yang selesai adalah:

text 
P(X = 8) = C(10, 8) · 0.7^8 · 0.3^2
         = 45 × 0.0576 × 0.09
         ≈ 0.2335    (dibulatkan ke empat desimal)

Hasil 0.2335 — sekitar 23.35% — menandai kejadian yang realistis, bukan kebetulan langka. Pertanyaan kedua memakai arah kumulatif: peluang kurang dari tiga siswa yang selesai, P(X < 3). Karena X bilangan bulat, P(X < 3) sama dengan P(X ≤ 2), dan di sinilah CDF — diperkenalkan pada chapter Variabel Acak — bekerja:

text 
P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
         = 0.000006 + 0.000138 + 0.001447
         ≈ 0.0016    (dibulatkan ke empat desimal)

Dengan p setinggi 0.7, hasil sesedikit itu nyaris tidak pernah terjadi — peluangnya 0.16%. CDF menjumlahkan PMF sampai batas atas yang kita pilih, sehingga pertanyaan “paling sedikit”, “paling banyak”, dan “kurang dari” selesai tanpa penjumlahan manual.

Mean dan Varians Binomial #

Rumus keduanya singkat dan bisa ditebak dari Bernoulli:

text 
E[X]   = n · p
Var(X) = n · p · (1-p)

Untuk 10 siswa dengan p = 0.7: E[X] = 10 × 0.7 = 7 dan Var(X) = 10 × 0.7 × 0.3 = 2.1. Kelas rata-rata mengumpulkan tujuh tugas selesai, dengan penyimpangan tipikal √2.1 ≈ 1.45 siswa di sekitar angka itu. Penurunan lengkapnya memakai linearitas expected value atas n Bernoulli — teknik E[X + Y] = E[X] + E[Y] yang sudah kita miliki dari chapter Expected Value — sehingga mean dan varians binomial bukan rumus baru, melainkan akibat langsung penyusunannya dari Bernoulli.

Tabel PMF untuk n = 5 dan p = 0.5 #

Lima lemparan koin seimbang (p = 0.5) menghasilkan tabel PMF penuh yang layak dihafal bentuknya:

kP(X = k)desimal
01/320.0312
15/320.1562
210/320.3125
310/320.3125
45/320.1562
51/320.0312

Tabel ini simetris sempurna karena p = 0.5: baris k mencerminkan baris 5 − k, dengan titik cermin di 2.5. Dua nilai tengah k = 2 dan k = 3 masing-masing berpeluang 10/32, dan keduanya bersama mencakup 20/32 = 0.6250 peluang. Total keenam pecahan adalah 32/32 = 1; kolom desimal dibulatkan ke empat angka sehingga selisih pembulatan kecil muncul bila kolom desimalnya dijumlahkan. E[X] = np = 2.5 — nilai yang tidak bisa dihasilkan satu eksperimen mana pun, pengingat yang bagus bahwa mean adalah rata-rata jangka panjang, bukan hasil yang harus muncul.

Contoh Kendali Kualitas #

Lini produksi mengemas batch berisi 20 unit dengan tingkat cacat historis p = 0.1. Manajer bertanya: berapa peluang sebuah batch memuat tepat 2 unit cacat?

text 
P(X = 2) = C(20, 2) · 0.1^2 · 0.9^18
         = 190 × 0.01 × 0.9^18
         ≈ 0.2852    (dibulatkan ke empat desimal)

Expected cacat per batch adalah E[X] = 20 × 0.1 = 2 unit, dan nilai k = 2 sekaligus menjadi nilai dengan peluang terbesar — 0.2852, sedikit di atas tetangganya k = 1 (0.2702) dan k = 3 (0.1901). Bila inspeksi mendapati 6 unit cacat, peluangnya jauh di ekor distribusi; pola “jarang sekali terjadi bila proses normal” inilah yang dijadikan dasar kartu kendali dan akan dibahas lebih formal pada Section Pengujian Hipotesis.

Menghitung dengan Python #

binom dari scipy.stats menghitung PMF, mean, dan varians sekaligus:

python 
from scipy.stats import binom

n, p = 5, 0.5

print(f"{'k':>3} {'P(X = k)':>9}")
for k in range(n + 1):
    print(f"{k:>3} {binom.pmf(k, n, p):>9.4f}")

print(f"E[X]   = np      = {binom.mean(n, p):.2f}")
print(f"Var(X) = np(1-p) = {binom.var(n, p):.2f}")

Output yang Dihasilkan:

text 
  k  P(X = k)
  0    0.0312
  1    0.1562
  2    0.3125
  3    0.3125
  4    0.1562
  5    0.0312
E[X]   = np      = 2.50
Var(X) = np(1-p) = 1.25

Mari kita bedah kode di atas:

  1. Baris 1 (import): memuat binom — satu dari keluarga distribusi diskret SciPy.
  2. Baris 3 (parameter): menetapkan n = 5 dan p = 0.5; mengganti salah satunya otomatis mengubah seluruh tabel.
  3. Baris 5-7 (tabel PMF): loop k = 0 sampai 5 mencetak PMF dengan format rata kanan empat desimal — hasilnya cocok baris demi baris dengan tabel manual 1/32, 5/32, 10/32 di atas.
  4. Baris 9-10 (ringkasan): .mean dan .var mengonfirmasi E[X] = np = 2.50 dan Var(X) = np(1-p) = 1.25.

Binomial menghitung sukses dari n percobaan yang terhitung lebih dulu, tetapi banyak fenomena tidak menyediakan n yang jelas: panggilan masuk sepanjang jam, cacat sepanjang meter kain, kedatangan pelanggan sepanjang jam sibuk. Ketika yang teramati adalah jumlah kejadian pada satuan waktu atau ruang, alat yang tepat adalah distribusi Poisson — chapter berikutnya. Latihan tambahan bertabel binomial tersedia di buku OpenIntro Statistics , dan antarmuka lengkapnya terdokumentasi dalam dokumentasi scipy.stats .