Distribusi Bernoulli

Banyak pertanyaan statistik sesungguhnya hanya punya dua jawaban: lulus atau tidak, cacat atau tidak, tertarik atau tidak. Distribusi Bernoulli memodelkan satu percobaan tunggal seperti itu — unit terkecil di dunia peluang. Chapter ini menurunkan mean dan variansnya langsung dari definisi expected value pada chapter sebelumnya, lalu memperlihatkan posisi Bernoulli sebagai bata penyusun distribusi binomial. Meskipun tampak sederhana, distribusi ini adalah komponen dasar bagi model klasifikasi, uji proporsi, dan hampir semua analisis data kategori yang akan kita temui kelak.

Percobaan Bernoulli #

Percobaan Bernoulli adalah satu percobaan dengan tepat dua hasil, yang kita labeli sukses (X = 1) dan gagal (X = 0). Peluang sukses ditulis p, sehingga peluang gagal otomatis menjadi 1 − p. Label “sukses” sepenuhnya teknis dan netral: pada inspeksi kualitas, barang cacat justru boleh dilabeli sukses bila yang ingin dihitung adalah jumlah cacatnya — yang penting kedua hasil saling meniadakan dan mencakup semua kemungkinan.

Ketiga contoh di atas memakai struktur yang sama persis; yang berbeda hanya nilai p. Kesederhanaan inilah yang membuat Bernoulli mudah dianalisis tuntas — dan mudah dirangkai menjadi model yang lebih besar.

Fungsi Massa Peluang Bernoulli #

Karena nilainya hanya dua, PMF Bernoulli selesai dalam dua baris:

P(X = 1) = p
P(X = 0) = 1 - p

syarat 0 <= p <= 1;  total = p + (1 - p) = 1

Notasi ringkasnya X ~ Bernoulli(p). Untuk ujian kelulusan dengan p = 0.8, kita menulis X ~ Bernoulli(0.8): P(X = 1) = 0.8 untuk siswa itu lulus dan P(X = 0) = 0.2 untuk tidak lulus. Syarat terakhir — total peluang 1 — terpenuhi otomatis oleh siapa pun yang menetapkan p, sehingga setiap nilai p di antara 0 dan 1 menghasilkan model peluang yang sah.

Menurunkan Mean dan Varians #

Kedua besaran turun langsung dari rumus expected value E[X] = Σ x · P(x). Untuk mean, hanya nilai x = 0 dan x = 1 yang menyumbang:

E[X] = 0·(1-p) + 1·p = p

Varians memakai bentuk singkat Var(X) = E[X²] − (E[X])² dari chapter Expected Value. Untuk Bernoulli berlaku kemudahan istimewa: X² bernilai sama dengan X karena 0² = 0 dan 1² = 1, sehingga:

E[X²]  = 0²·(1-p) + 1²·p = p
Var(X) = E[X²] - (E[X])² = p - p² = p(1-p)

Hasilnya ringkas dan logis. E[X] = p berarti rata-rata jangka panjang dari banyak percobaan sama dengan p — persis proporsi sukses yang kita definisikan di awal. Untuk ujian dengan p = 0.8: E[X] = 0.8 dan Var(X) = 0.8 × 0.2 = 0.16. Membaca varians 0.16 dalam bentuk simpangan baku memberi √0.16 = 0.4 — ukuran ketidakpastian hasil satu percobaan dalam skala yang sama dengan X.

Varians p(1-p) mencapai puncaknya saat p = 0.5 dengan nilai 0.25, lalu mengecil simetris ke arah kedua ujung. Peluang 50:50 adalah kondisi paling tidak pasti — kedua hasil berimbang penuh — sedangkan p = 0.01 membuat hasil hampir selalu gagal sehingga sebarannya kecil. Pola segitiga kecil ini muncul lagi pada binomial dan menjadi inti perhitungan ukuran sampel survei proporsi: menaksir proporsi paling banyak memakan sampel justru ketika p dekat 0.5.

Bernoulli sebagai Bata Bangunan #

Kekuatan sesungguhnya Bernoulli terletak pada penyusunannya. Deretan n percobaan Bernoulli yang saling bebas dengan p yang sama menghasilkan variabel acak baru: jumlah sukses. Distribusi jumlah itulah binomial — pokok bahasan chapter berikutnya. Sepuluh siswa mengerjakan tugas adalah sepuluh percobaan Bernoulli(p = 0.7) bila tiap siswa bekerja sendiri dan peluangnya sama; pertanyaan “berapa siswa yang selesai” adalah pertanyaan tentang nilai binomial dari 0 sampai 10.

Menghitung dengan Python #

Keluarga distribusi di scipy.stats memakai antarmuka seragam — .pmf, .mean, .var — sehingga Bernoulli sekaligus memperkenalkan pola pemakaian untuk seluruh section ini:

from scipy.stats import bernoulli

p = 0.8

print(f"P(X=1) = {bernoulli.pmf(1, p):.4f}")
print(f"P(X=0) = {bernoulli.pmf(0, p):.4f}")
print(f"E[X]   = {bernoulli.mean(p):.4f}")
print(f"Var(X) = {bernoulli.var(p):.4f}")

for pp in (0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9):
    print(f"p = {pp:.1f} → p(1-p) = {pp * (1 - pp):.4f}")

Output yang Dihasilkan:

P(X=1) = 0.8000
P(X=0) = 0.2000
E[X]   = 0.8000
Var(X) = 0.1600
p = 0.1 → p(1-p) = 0.0900
p = 0.3 → p(1-p) = 0.2100
p = 0.5 → p(1-p) = 0.2500
p = 0.7 → p(1-p) = 0.2100
p = 0.9 → p(1-p) = 0.0900

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 1 (import): memuat bernoulli dari scipy.stats; keluarga ini yang akan kita pakai untuk binomial, Poisson, normal, dan t-Student di chapter-chapter berikutnya.
2. Baris 5-8 (validasi rumus): bernoulli.pmf(1, p) mengembalikan p dan bernoulli.pmf(0, p) mengembalikan 1 − p — keduanya cocok dengan PMF manual; .mean dan .var mengonfirmasi E[X] = 0.8 dan Var(X) = 0.16.
3. Baris 10-11 (pola varians): loop menghitung p(1-p) untuk lima nilai p; nilai terbesar 0.2500 muncul tepat di p = 0.5, mengonfirmasi puncak varians yang dibahas di atas (semua hasil dibulatkan ke empat desimal).

Satu percobaan sudah kita kuasai, tetapi statistik praktis jarang berhenti pada satu. Chapter berikutnya menjumlahkan n percobaan Bernoulli menjadi distribusi binomial — lengkap dengan rumus PMF yang menghitung peluang “tepat k sukses” dari jumlah percobaan berapa pun. Rincian antarmuka distribusi SciPy terdokumentasi lengkap dalam dokumentasi scipy.stats .