Median

Pada chapter Mean kita melihat satu nilai ekstrem menggeser mean 6.33 poin. Ukuran pemusatan kedua, median, bekerja dengan cara yang sama sekali berbeda: median tidak menjumlahkan apa pun, hanya mencari posisi tengah setelah data diurutkan. Kita tetap memakai dataset nilai sembilan siswa — 68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97 — agar hasilnya bisa dibandingkan langsung dengan mean 83.33. Chapter ini menghitung median untuk data berjumlah ganjil dan genap, mengujinya terhadap outlier, lalu menutup dengan kasus klasik data miring: pendapatan.

Definisi Median #

Median adalah nilai yang menempati posisi tengah data setelah diurutkan: separuh data berada di bawah median dan separuh lainnya berada di atasnya. Karena definisinya bertumpu pada urutan, median hanya menuntut data yang bisa diurutkan — data ordinal sudah mencukupi, tidak wajib berskala interval seperti mean. Langkah pertama yang tidak boleh dilewati adalah mengurutkan data dari terkecil ke terbesar; median yang dihitung dari data belum terurut bisa sama sekali salah. Untungnya dataset nilai kita sudah terurut dari 68 hingga 97, jadi siap dianalisis.

Posisi Median pada Data Ganjil #

Untuk data berjumlah ganjil, median adalah satu-satunya elemen tengah. Posisinya dihitung dengan rumus:

posisi median = (n + 1) / 2

Dengan n = 9, posisi median = 10 / 2 = 5, artinya median adalah data ke-5 setelah diurutkan:

data    : 68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97
posisi  :  1   2   3   4  [5]  6   7   8   9
median  = 84

Empat nilai (68, 75, 75, 81) berada di bawah 84 dan empat nilai (88, 90, 92, 97) berada di atasnya — keseimbangan yang sempurna. Perhatikan pula bahwa 84 adalah anggota data: pada n ganjil, median selalu merupakan salah satu nilai data, berbeda dari mean 83.33 yang tidak dimiliki siapa pun.

Data Genap: Rata-rata Dua Nilai Tengah #

Data berjumlah genap tidak memiliki satu elemen tengah, sehingga median dihitung dari dua nilai yang mengapit posisi tengah. Rumus posisi tetap dipakai sebagai penunjuk arah: untuk n = 6, posisi = (6 + 1) / 2 = 3.5, yang berarti median terletak di antara data ke-3 dan ke-4, lalu dihitung sebagai rata-rata keduanya. Contohnya nilai enam siswa:

data    : 70, 74, 78, 82, 86, 90
median  = (78 + 82) / 2 = 80

Tiga nilai berada di bawah 80 dan tiga nilai di atas 80. Perhatikan bahwa 80 bukan anggota data — pada data genap, median boleh berupa angka yang tidak muncul dalam data sama sekali. Data genap ini akan kita pakai lagi pada chapter Kuartil dan Persentil, jadi biasakan dua contoh itu berdampingan: ganjil memberi anggota data, genap memberi hasil bagi dua.

Median Lebih Tahan terhadap Outlier #

Ketahanan (robustness) median paling jelas terlihat lewat perbandingan. Tabel berikut menguji tiga skenario pada data sembilan siswa — dua di antaranya memperkenalkan nilai bermasalah:

Baris kedua mengulang skenario chapter Mean: mengganti nilai tertinggi 97 dengan 40 menurunkan mean dari 83.33 ke 77 (pergeseran 6.33 poin). Median ikut bergeser dari 84 ke 81, tetapi hanya tiga poin, sebab nilai pengganti jatuh di sisi lain titik tengah sehingga posisi tengah berpindah ke data yang lain. Baris ketiga menguji kasus sebaliknya: nilai terendah 68 tercatat keliru sebagai 2 — nilai ekstrem yang tetap berada di sisi bawah. Mean runtuh dari 83.33 ke 76, sedangkan median sama sekali tidak berubah: tetap 84, karena urutan posisi tengah tidak tersentuh oleh besarnya nilai ekstrem.

Kesimpulannya satu kalimat: mean membaca besaran setiap nilai sehingga satu angka ekstrem cukup untuk menariknya; median membaca urutan sehingga hanya perubahan yang melintasi titik tengah yang menggesernya. Ukuran yang bergeser kecil atau tidak bergeser sama sekali ketika satu data berubah ekstrem disebut tahan (robust) — dan median adalah ukuran pemusatan yang tahan, sedangkan mean bukan.

Data Miring: Median untuk Pendapatan #

Penggunaan median paling terkenal ada pada data pendapatan, yang hampir selalu miring ke kanan. Pendapatan bulanan sembilan warga satu RT (dalam juta rupiah) adalah 3.2, 3.5, 3.6, 3.8, 4.0, 4.2, 4.5, 4.8, dan 30.0 — yang terakhir milik seorang pemilik usaha. Kedua ukuran memberi laporan yang bertolak belakang:

mean   = (3.2 + 3.5 + 3.6 + 3.8 + 4.0 + 4.2 + 4.5 + 4.8 + 30.0) / 9
       = 61.6 / 9
       = 6.84   (dibulatkan ke dua desimal)
median = 4.0

Mean 6.84 juta lebih tinggi dari delapan dari sembilan warga — berita “rata-rata pendapatan warga 6.84 juta” menyesatkan karena tidak ada kelompok warga yang benar-benar menghasilkan angka itu. Median 4.0 juta jauh lebih mewakili kehidupan warga pada umumnya. Ketika pendapatan tertinggi naik dari 30 juta menjadi 60 juta, mean melompat menjadi 10.18 juta, sementara median tetap 4.0 — peristiwa yang akan kita lihat lagi di snippet Python. Pada data miring ke kanan seperti ini, mean umumnya lebih besar daripada median; pada data miring ke kiri kebalikannya; pada data simetris keduanya berdekatan. Aturan gambaran ini dibedah dengan ukurannya sendiri pada chapter Skewness di Section Distribusi Data.

Menghitung Median dengan Python #

Module statistics menghitung median sekali panggil dan otomatis membedakan data ganjil dan genap:

import statistics

nilai = [68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97]
nilai_genap = [70, 74, 78, 82, 86, 90]
pendapatan = [3.2, 3.5, 3.6, 3.8, 4.0, 4.2, 4.5, 4.8, 30.0]
naik = [3.2, 3.5, 3.6, 3.8, 4.0, 4.2, 4.5, 4.8, 60.0]

print(statistics.median(nilai))
print(statistics.median(nilai_genap))
print(round(statistics.mean(pendapatan), 2))
print(round(statistics.mean(naik), 2))
print(statistics.median(naik))

Output yang Dihasilkan:

84
80.0
6.84
10.18
4.0

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 8 (statistics.median(nilai)): n = 9 (ganjil), function mengembalikan elemen ke-5 dari data terurut, yaitu 84.
2. Baris 9 (statistics.median(nilai_genap)): n = 6 (genap), function mengembalikan rata-rata dua nilai tengah (78 + 82) / 2, yaitu 80.0 — hasil rata-rata selalu bertipe float.
3. Baris 10-11: mean pendapatan 6.84 juta melonjak menjadi 10.18 juta ketika satu nilai naik dari 30 menjadi 60.
4. Baris 12 (statistics.median(naik)): median pendapatan tetap 4.0 meski data berubah drastis — ketahanan median dalam angka.

Dua ukuran pemusatan kita sejauh ini bermain di angka: mean menjumlahkan, median mengurutkan. Namun keduanya tidak bisa berbuat apa pun pada data kategorik murni seperti warna favorit atau merek pilihan — tidak ada angka untuk dijumlahkan dan tidak ada urutan bermakna untuk dicari tengahnya. Di sana yang menentukan adalah nilai yang paling sering muncul: modus, topik chapter berikutnya.