Kuartil dan Persentil

Median membagi data terurut menjadi dua bagian sama banyak. Statistikawan kemudian bertanya: bagaimana kalau bagiannya lebih banyak? Kuartil membagi data menjadi empat, persentil membagi menjadi seratus — keduanya memberi peta posisi yang jauh lebih rinci daripada satu titik tengah. Dengan kuartil, kita bisa menjawab pertanyaan seperti “nilai berapa yang membatasi 25 persen siswa teratas?”. Kita tetap bekerja pada dataset sembilan siswa (68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97) dan menambahkan dataset genap dari chapter Median. Chapter ini menutup dengan pengenalan IQR dan persentil, dua konsep yang dipakai terus sepanjang course.

Kuartil Q1, Q2, dan Q3 #

Kuartil adalah tiga nilai yang membagi data terurut menjadi empat bagian dengan banyak data yang sama. Kuartil pertama (Q1) membatasi 25 persen data terbawah, kuartil kedua (Q2) adalah median yang sudah kita kenal, dan kuartil ketiga (Q3) membatasi 75 persen data terbawah — atau dengan kata lain, 25 persen data teratas berada di atasnya. Untuk data kecil, posisi tiap kuartil dihitung dengan rumus:

posisi Q1 = (n + 1) × 1/4
posisi Q2 = (n + 1) × 2/4 = (n + 1) / 2
posisi Q3 = (n + 1) × 3/4

Bandingkan rumus Q2 dengan rumus posisi median pada chapter Median — keduanya identik, menegaskan bahwa Q2 memang median. Perbedaan baru muncul ketika posisi yang dihasilkan bukan bilangan bulat; kasus itu ditangani dengan interpolasi, yang segera kita praktikkan pada data sembilan siswa.

Menghitung Kuartil Data Sembilan Siswa #

Untuk n = 9, posisi Q1 = 10 × 1/4 = 2.5. Posisi pecahan berarti Q1 terletak di antara data ke-2 dan ke-3 — tepatnya setengah jalan di antara keduanya — lalu dihitung dengan interpolasi:

Q1 = data ke-2 + 0.5 × (data ke-3 - data ke-2)
   = 75 + 0.5 × (75 - 75)
   = 75

Kedua data yang diapit kebetulan sama-sama 75, sehingga hasil interpolasinya bulat. Q3 menghitung sisi atas dengan pola yang sama: posisi Q3 = 10 × 3/4 = 7.5, di antara data ke-7 dan ke-8:

Q3 = data ke-7 + 0.5 × (data ke-8 - data ke-7)
   = 90 + 0.5 × (92 - 90)
   = 91

Rangkuman hasilnya: Q1 = 75, Q2 = 84 (median kita), Q3 = 91. Q1 menandai batas 25 persen data terbawah, sedangkan Q3 membatasi 75 persen data terbawah — hanya nilai 92 dan 97 yang berada di atasnya. Selisih Q3 − Q1 = 91 − 75 = 16 disebut interquartile range (IQR) — lebar wilayah yang ditempati 50 persen data di tengah. IQR akan menjadi pemeran utama dua chapter ke depan.

Kuartil pada Data Genap #

Data genap menambah latihan interpolasi karena posisinya jarang bulat. Ambil nilai enam siswa dari chapter Median: 70, 74, 78, 82, 86, 90 dengan n = 6:

posisi Q1 = 7 × 1/4 = 1.75  →  Q1 = 70 + 0.75 × (74 - 70) = 73
posisi Q2 = 7 × 2/4 = 3.5   →  Q2 = (78 + 82) / 2 = 80
posisi Q3 = 7 × 3/4 = 5.25  →  Q3 = 86 + 0.25 × (90 - 86) = 87

Cara membaca posisi 1.75: Q1 berada 75 persen perjalanan dari data ke-1 menuju data ke-2. Q2 pada posisi 3.5 jatuh tepat di tengah data ke-3 dan ke-4, kembali menghasilkan median 80. Hasil akhirnya Q1 = 73, Q2 = 80, Q3 = 87, dengan IQR = 87 − 73 = 14. Dua contoh ini mewakili pola umum perhitungan kuartil data kecil: hitung posisi, temukan dua data yang mengapitnya, lalu interpolasi sesuai pecahan posisi.

Metode Berbeda, Hasil Berbeda #

Jujur perlu dikatakan: rumus posisi (n + 1) di atas bukan satu-satunya cara menghitung kuartil. Tabel berikut membandingkan tiga jalur untuk data sembilan siswa:

Metode manual kita ternyata identik dengan metode exclusive milik module statistics — keduanya memakai skala posisi berbasis (n + 1). Metode inclusive memakai skala posisi 1 + (n − 1) × k/4 yang sedikit berbeda; pada data ini hasilnya sama untuk Q1 dan Q2, tetapi Q3-nya 90, bukan 91. Excel juga memisahkan QUARTILE.INC dan QUARTILE.EXC karena perbedaan definisi yang sama. Tidak ada yang salah dari keduanya — keduanya menjawab pertanyaan serupa dengan konvensi posisi yang berbeda. Konsekuensi praktisnya satu saja: saat melaporkan kuartil, sebutkan metode yang dipakai, dan jangan terkejut ketika dua perangkat lunak memberi angka yang sedikit berbeda. Sepanjang sisa section ini kita konsisten memakai hasil metode posisi: Q1 = 75 dan Q3 = 91 pada data sembilan siswa.

Persentil: Pembagian Seratus #

Persentil memperhalus pembagian menjadi seratus bagian. Persentil ke-k, ditulis P_k, adalah nilai yang membatasi k persen data terbawah. Hubungannya dengan kuartil langsung: P25 = Q1, P50 = Q2, dan P75 = Q3 — kuartil hanyalah persentil kunci yang dipilih khusus. Untuk data kecil, posisi persentil dihitung dengan rumus yang sekeluarga:

posisi P_k = (n + 1) × k / 100

Pada data sembilan siswa, P90 berada di posisi 10 × 90/100 = 9, yaitu tepat data ke-9: nilai 97. Siswa pemilik nilai 97 menempati peringkat persentil ke-90 — hanya sekitar 10 persen siswa yang berada di atas atau setara dengannya. Sebagai pemeriksaan silang, P25 berada di posisi 2.5 dan kembali menghasilkan 75, menegaskan P25 = Q1.

Persentil paling dikenal lewat dunia kesehatan. Tinggi badan dan berat badan anak dibandingkan terhadap kurva pertumbuhan, sehingga orang menjumpai kalimat seperti “anak ini berada di P90 untuk tinggi badan”. Maknanya: sekitar 90 persen anak seusianya lebih pendek daripada anak tersebut. Tenaga kesehatan memantau anak yang berada di persentil ekstrem — misalnya di bawah P3 atau di atas P97 — dengan lebih ketat. Skor tes berskala besar juga lazim dilaporkan sebagai persentil: “peringkat persentil ke-85” langsung menunjukkan posisi relatif di antara peserta, sesuatu yang skor mentah tidak berikan. Latihan tambahan tentang kuartil dan persentil tersedia di Khan Academy .

Kuartil dan Box Plot #

Ketiga kuartil menjadi rangka utama satu grafik yang akan kita gambar pada chapter Box Plot di Section Visualisasi Data. Kotak pada box plot dibentang dari Q1 ke Q3 dengan garis nilai median di tengahnya; lebar kotak itulah IQR, dan perbandingan dua sisi kotak memperlihatkan seberapa simetris data menyebar di sekitar median. Whisker merentang dari ujung kotak menuju data terendah dan tertinggi yang masih berada dalam batas wajar, sedangkan data di luar batas ditandai sebagai titik tersendiri — aturan batasnya memakai 1.5 × IQR dan dibahas lengkap pada chapter Rentang dan Interquartile Range. Sekarang kita lengkapi perangkat hitungnya terlebih dahulu.

Menghitung Kuartil dengan Python #

Module statistics menyerahkan perhitungan kuartil ke function quantiles, dengan pilihan metode yang eksplisit:

import statistics

nilai = [68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97]

print(statistics.quantiles(nilai, n=4, method="inclusive"))
print(statistics.quantiles(nilai, n=4, method="exclusive"))

Output yang Dihasilkan:

[75.0, 84.0, 90.0]
[75.0, 84.0, 91.0]

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 5 (statistics.quantiles(nilai, n=4, ...)): parameter n=4 berarti “bagi data menjadi empat bagian”, sehingga function mengembalikan tiga titik potong — Q1, Q2, Q3 — sebagai list berisi float.
2. Baris 5 (method="inclusive"): hasil [75.0, 84.0, 90.0] sesuai baris ketiga tabel perbandingan metode di atas.
3. Baris 6 (method="exclusive"): hasil [75.0, 84.0, 91.0] — persis hasil hitungan manual metode posisi (n + 1)×k/4, termasuk Q3 = 91.
4. Parameter n lain: n=10 mengembalikan sembilan decile, dan n=100 mengembalikan 99 titik persentil — function yang sama melayani seluruh keluarga pembagi ini. Perilaku lengkapnya tercantum dalam dokumentasi statistics Python .

Kuartil telah memberi kita peta posisi: Q1 = 75, median 84, Q3 = 91, dan IQR sebesar 16 yang baru sekilas kita kenal. IQR itu sebenarnya anggota keluarga ukuran penyebaran — besaran yang menjawab “seberapa lebar data menyebar”. Keluarga tersebut kita kunjungi dari anggotanya yang paling sederhana, rentang, pada chapter berikutnya.