Standard Error

Dua chapter terakhir menghasilkan satu angka yang muncul berulang-ulang: σ/√n. Angka itu adalah lebar sebaran x̄ pada populasi mini enam siswa, sasaran yang dicapai simulasi Central Limit Theorem, dan ukuran yang menentukan seberapa dekat x̄ menempel pada μ. Karena perannya yang sentral, angka ini diberi nama resmi: standard error (SE), galat baku dari sebuah statistik. Chapter ini merumuskan SE untuk mean dan proporsi, membedakannya tegas dari standard deviation yang sudah kita kenal, dan menunjukkan hukum akar-n yang mengatur hubungan antara ukuran sampel dan presisi penaksiran.

Definisi dan Rumus #

Standard error adalah simpangan baku dari distribusi sampling sebuah statistik. Untuk rata-rata sampel:

SE(x̄) = σ / √n

σ = simpangan baku populasi
n = ukuran sampel

Cara membacanya perlu dipelajari perlahan. SE mengukur seberapa jauh x̄ dari satu sampel secara tipikal melenceng dari μ — bukan seberapa jauh satu data melenceng dari x̄. Chapter Distribusi Sampling menghitung SE versi populasi mini secara eksplisit: simpangan baku seluruh 15 nilai x̄ adalah 5.40, dan rumus σ/√n (setelah faktor koreksi) menghasilkan angka yang sama. Kata “error” pada namanya merujuk pada sampling error dari chapter Parameter dan Statistik Sampel — variasi alami antar sampel — bukan kesalahan hitung.

Ketika σ Tidak Diketahui #

Pada data nyata, σ hampir tidak pernah tersedia — yang kita pegang hanya s dari sampel. Praktik standar mengganti σ dengan s sehingga SE ditaksir:

SE(x̄) ≈ s / √n

Contohnya memakai data sembilan siswa dari chapter Standar Deviasi: nilai [68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97] menghasilkan x̄ = 83.33 dan s = 9.41. Dengan n = 9, taksiran SE-nya:

SE = s / √n = 9.41 / 3 ≈ 3.14

Artinya, taksiran x̄ = 83.33 dari sembilan siswa itu secara tipikal berjarak sekitar 3.14 poin dari μ yang sesungguhnya. Ketidakpastian sebesar itu adalah harga yang harus dilaporkan bersama taksiran; menyebut 83.33 tanpa 3.14 sama saja menutupi informasi terpenting dari sampel.

SE versus Standard Deviation #

Dua ukuran ini kerap tertukar karena sama-sama bernama “standard” dan sama-sama berunit poin. Tabel berikut memisahkan keduanya:

Contoh konkret membuat kontrasnya tajam. Dari sembilan siswa: s = 9.41 mengatakan nilai siswa menyebar luas — ada yang 68, ada yang 97. SE = 3.14 mengatakan rata-rata kelas diperkirakan cukup dekat ke μ. Populasi murid yang sangat bervariasi tetap bisa ditaksir mean-nya dengan presisi tinggi; itulah sebabnya survei nasional menghasilkan mean yang akurat meski individu Indonesia sangat beragam.

Hukum Akar-n #

SE mengecil saat n membesar, tetapi laju pengecilannya mengikuti akar, bukan garis lurus: membagi dua SE menuntut empat kali lipat sampel, bukan dua kali lipat. Tabel berikut menghitung SE untuk s = 9.41 pada beberapa n:

n = 9   -> SE = 9.41/3   = 3.14
n = 36  -> SE = 9.41/6   = 1.57
n = 100 -> SE = 9.41/10  = 0.94

Dari n = 9 ke n = 36, sampel berlipat empat dan SE tepat terbagi dua. Dari n = 36 ke n = 100, sampel hampir tiga kali lipat tetapi SE hanya turun dari 1.57 ke 0.94. Hukum akar-n inilah alasan presisi tambahan menjadi mahal dengan cepat — konsekuensi anggarannya dibahas tuntas pada chapter Menentukan Ukuran Sampel.

Standard Error untuk Proporsi #

Untuk proporsi sampel p̂, statistiknya adalah rata-rata nilai Bernoulli, sehingga SE-nya mengikuti rumus sendiri:

SE(p̂) = √(p(1 - p) / n)

p = proporsi populasi (dipakai untuk perencanaan)

Contoh: survei kepuasan mendapat 70 persen responden puas dari n = 100. Dengan p = 0.7:

SE(p̂) = √(0.7 × 0.3 / 100) = √0.0021 ≈ 0.046

Taksiran 0.7 itu secara tipikal melenceng sekitar 4.6 poin persentase dari proporsi populasi. Perhatikan bahwa p(1 − p) mencapai nilai maksimum 0.25 tepat saat p = 0.5 — fakta yang menjadikan p = 0.5 asumsi konservatif saat merencanakan ukuran sampel. Setelah data terkumpul, p diganti p̂ sehingga SE dihitung dari data: √(p̂(1 − p̂)/n).

Menghitung dengan Python #

Kode berikut menghitung tabel SE dan contoh proporsi di atas:

from math import sqrt

s = 9.41
print(f"{'n':>5} {'SE = s/akar(n)':>16}")
for n in (9, 36, 100):
    print(f"{n:>5} {s / sqrt(n):>16.2f}")

p, n = 0.7, 100
se_p = sqrt(p * (1 - p) / n)
print(f"SE proporsi = akar(0.7 x 0.3 / 100) = {se_p:.4f}")

Output yang Dihasilkan:

    n   SE = s/akar(n)
    9             3.14
   36             1.57
  100             0.94
SE proporsi = akar(0.7 x 0.3 / 100) = 0.0458

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 1 (module): cukup sqrt dari math — seluruh rumus SE memang hanya satu akar.
2. Baris 4-6 (tabel hukum akar-n): loop menghitung s/√n untuk n = 9, 36, 100; hasil 3.14, 1.57, 0.94 (dibulatkan dua desimal) memperlihatkan SE terbagi dua saat n berlipat empat.
3. Baris 8-10 (proporsi): SE untuk p = 0.7 dan n = 100 dihitung langsung dari √(p(1−p)/n), hasil 0.0458 — dibulatkan menjadi 0.046 di pembahasan.

Standard error melengkapi peta distribusi sampling: pusat μ, bentuk lonceng dari CLT, dan kini lebar sebaran. Satu bagian masih belum diformalkan: mengapa x̄ — bukan median atau statistik lain — layak menjadi penaksir utama μ? Pertanyaan itu masuk wilayah teori penaksiran, topik chapter Point Estimation berikutnya. Rujukan ringkas tersedia di NIST Engineering Statistics Handbook dan dokumentasi scipy.stats .