Menentukan Ukuran Sampel

Sejauh section ini, ukuran sampel n selalu diberikan begitu saja: sembilan siswa, 1000 simulasi, 300 responden. Pada dunia nyata urutannya terbalik — perancang survei harus memutuskan n sebelum satu pun data terkumpul, dan keputusan itu menentukan anggaran, jadwal, dan batas presisi sekaligus. Untungnya, seluruh perhitungan sudah tersedia: rumus margin dari chapter Confidence Interval cukup dibalik untuk menghasilkan n yang dibutuhkan. Chapter ini menurunkan rumus ukuran sampel untuk mean dan proporsi, menghitung contoh-contoh numeriknya, lalu melengkapi rumus dengan penyesuaian praktis — nonresponse dan faktor koreksi populasi hingga — yang membedakan rancangan di atas kertas dari survei yang benar-benar berjalan.

Membalik Rumus Margin #

Margin confidence interval untuk mean adalah z × σ/√n. Kita tetapkan dua besaran — tingkat keyakinan (yang menentukan z) dan margin kesalahan E yang bisa diterima — lalu selesaikan n:

margin: E = z × σ/√n
dibalik : n = (z × σ / E)²

z = nilai kritis (1.96 untuk tingkat 95%)
σ = simpangan baku populasi (taksiran awal)
E = margin kesalahan yang diinginkan

Contoh: sekolah merencanakan survei nilai belajar. Data tahun lalu menunjukkan sebaran nilai dengan σ ≈ 15 poin, dan pengguna data ingin hasil presisi sampai E = 3 poin pada tingkat 95%:

n = (1.96 × 15 / 3)² = 9.8² = 96.04

Hasil mentah 96.04 dibulatkan menjadi n = 97, dan pembulatannya selalu ke atas. Alasannya konkret: n harus bilangan bulat, dan n = 96 ternyata masih gagal memenuhi janji — margin pada n = 96 adalah 1.96 × 15/√96 = 3.0006, melebihi E = 3. Hanya n = 97 yang margin-nya (2.9851) memenuhi E = 3. Pembulatan ke bawah, meski cuma selisih satu responden, mengingkari spesifikasi yang sudah dijanjikan pengguna data.

Tabel Skenario #

Efek E terhadap n paling jelas dilihat sekaligus. Tabel berikut memakai σ = 15 dan z = 1.96:

Mengecilkan E dari 3 ke 1.5 menuntut n = (1.96 × 15/1.5)² = 384.16 → 385 — hampir empat kali lipat sampel untuk margin setengahnya. Pola ini persis hukum akar-n dari chapter Standard Error, kini terbaca dari arah perancangan: presisi membaik sebanding √n, biaya pengumpulan data naik sebanding n.

Rumus untuk Proporsi #

Untuk proporsi, pembalikannya dilakukan pada rumus Wald dari chapter Confidence Interval:

n = z² × p(1 - p) / E²

p = proporsi populasi (taksiran awal)

Nilai p diambil dari survei sebelumnya; bila tidak ada sama sekali, pakai p = 0.5. Pilihan 0.5 bukan netral melainkan konservatif: p(1 − p) mencapai maksimum 0.25 tepat di p = 0.5, sehingga rumus menghasilkan n terbesar — kita tidak akan kekurangan sampel, berapa pun p yang sebenarnya. Contoh perhitungan standar industri survei: proporsi dengan margin E = 0.05 pada tingkat 95%:

n = 1.96² × 0.5 × 0.5 / 0.05² = 0.9604 / 0.0025 = 384.16 → 385

Angka 385 inilah angka terkenal yang beredar di metodologi survei nasional: margin ±5 poin persentase untuk proporsi pada tingkat keyakinan 95% selalu bermuara ke sana. Setiap kali laporan menyebut “survei terhadap sekitar 400 responden nasional, margin ±5%”, angka itu pada dasarnya adalah hasil rumus ini.

Pertukaran Presisi dan Biaya #

Rumus ukuran sampel pada akhirnya adalah alat negosiasi antara presisi dan sumber daya. Bahan negosiasinya bisa diringkas: dari tabel skenario, memperketat margin dari 5 menjadi 2 menaikkan kebutuhan dari 35 menjadi 217 responden — lebih dari enam kali lipat biaya kuesioner, enumerasi, dan entri data, demi presisi yang membaik 2.5 kali. Pada titik tertentu tambahan responden tidak lagi membeli informasi yang sepadan biayanya, karena margin hanya membaik mengikuti 1/√n.

Keputusan yang sehat bukan memaksakan E terkecil, melainkan menetapkan E terkecil yang masih berguna bagi pengguna data. Kepala sekolah yang hanya perlu tahu rata-rata nilai “dalam kisaran 3 poin” cukup 97 siswa; lembaga yang memetakan perbedaan antar sekolah kecil perlu margin lebih ketat dan membayarnya.

Faktor Praktis di Lapangan #

Rumus dasar menghitung responden yang dianalisis; lapangan menuntut dua penyesuaian. Pertama, nonresponse: tidak semua yang dihubungi menjawab. Bila tingkat respons diperkirakan 80%, undangan dikirim lebih banyak:

n kirim = n analisis / respons = 385 / 0.8 = 481.25 → 482

Dengan 482 undangan dan respons 80%, responden terkumpul 482 × 0.8 = 385.6 — cukup untuk 385 yang dibutuhkan. Kedua, populasi kecil: rumus di atas mengasumsikan populasi besar sehingga pengambilan sampel nyaris tak mengubah komposisi populasi. Bila n yang dihitung melebihi 5% dari N, faktor koreksi hingga populasi (yang pertama muncul di chapter Distribusi Sampling) mengecilkan kebutuhan:

n final = n / (1 + (n - 1)/N)

contoh: n = 385, N = 1000
n final = 385 / (1 + 384/1000) = 385 / 1.384 = 278.18 → 279

Pada populasi seribu orang, kebutuhan turun dari 385 menjadi 279 — fraksi sampel dari 38.5% menjadi 27.9% — karena setiap orang yang tersampel tak mungkin terpilih lagi. Untuk survei nasional berpopulasi jutaan, faktor ini nyaris tak berpengaruh. Desain yang lebih kompleks (stratified, cluster — chapter Teknik Sampling) menambahkan koefisien desain tersendiri; rumus di sini adalah titik awal, bukan angka final semua situasi.

Langkah Menentukan Ukuran Sampel #

Prosedur lengkapnya bisa dirangkum enam langkah:

1. Tentukan besaran yang ditaksir — mean atau proporsi — dan pengguna datanya.
2. Tetapkan tingkat keyakinan (95% dengan z = 1.96 adalah standar) dan margin E yang masih berguna bagi keputusan akhir.
3. Taksir sebaran: σ dari data historis atau studi kecil sebelumnya (taksiran kasar yang lazim: σ ≈ rentang dibagi 4); untuk proporsi, p dari survei lama atau 0.5 bila tak ada.
4. Hitung n dari rumus, lalu bulatkan ke atas.
5. Sesuaikan faktor lapangan: bagi dengan tingkat respons yang diperkirakan, terapkan faktor koreksi bila populasi kecil, tambahkan koefisien desain bila sampling tidak sederhana.
6. Uji kelayakan anggaran; bila melebihi sumber daya, longgarkan E atau turunkan tingkat keyakinan secara sadar — jangan diam-diam memotong sampel lalu melaporkan margin yang tidak didukung datanya.

Menghitung dengan Python #

Blok berikut menghitung tabel skenario, kasus proporsi, dan penyesuaian nonresponse:

from math import ceil

z, sigma = 1.96, 15
print(f"{'E':>4} {'n mentah':>10} {'n final':>8}")
for E in (5, 3, 2, 1):
    n_mentah = (z * sigma / E) ** 2
    print(f"{E:>4} {n_mentah:>10.2f} {ceil(n_mentah):>8}")

n_prop = z**2 * 0.5 * 0.5 / 0.05**2
print(f"\nproporsi (p = 0.5, E = 0.05) : {n_prop:.2f} -> {ceil(n_prop)}")
print(f"penyesuaian nonresponse 80%  : {ceil(ceil(n_prop) / 0.8)}")

Output yang Dihasilkan:

   E   n mentah  n final
   5      34.57       35
   3      96.04       97
   2     216.09      217
   1     864.36      865

proporsi (p = 0.5, E = 0.05) : 384.16 -> 385
penyesuaian nonresponse 80%  : 482

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3 (parameter): z dan σ didefinisikan di satu tempat — mengganti salah satunya otomatis memperbarui seluruh tabel.
2. Baris 4-7 (tabel skenario): tiap baris menghitung (z·σ/E)² lalu ceil membulatkan ke atas; hasil 35, 97, 217, 865 sesuai pembahasan.
3. Baris 9-11 (proporsi dan nonresponse): n untuk p = 0.5 dan E = 0.05 menghasilkan 384.16 → 385, lalu 385 dibagi 0.8 dan dibulatkan ke atas menjadi 482 undangan.

Section Sampling dan Estimasi kini utuh: distribusi sampling memberi peta perilaku x̄, Central Limit Theorem menjamin bentuknya, standard error mengukur lebarnya, point estimation memilih penaksir terbaik, confidence interval mengubah semuanya menjadi rentang, dan rumus ukuran sampel merencanakannya sebelum data terkumpul. Satu bangunan tersisa untuk melengkapi kotak perkakas inferensial: logika keputusan formal — apakah data cukup bukti untuk menolak dugaan tentang μ? Itulah wilayah Section berikutnya, Pengujian Hipotesis. Metodologi survei resmi lembaga statistik bisa ditelusuri di BPS dan OpenIntro Statistics .