Distribusi Sampling

Chapter Parameter dan Statistik Sampel menutup dengan satu pengamatan: statistik sampel berubah setiap kali sampel diambil ulang, sedangkan parameter populasi tetap. Kalimat itu menyimpan pertanyaan yang belum terjawab: bila x̄ berubah-ubah dari sampel ke sampel, apakah nilainya menyebar tanpa pola, atau mengikuti kerangka yang bisa dihitung? Jawabannya adalah kerangka yang sangat teratur, bernama distribusi sampling — distribusi probabilitas sebuah statistik atas seluruh sampel yang mungkin diambil dari populasi. Chapter ini membangun konsep itu dari nol memakai populasi mini enam siswa yang cukup kecil untuk dihitung sampai habis, sehingga setiap sifat yang muncul bisa dibuktikan dengan angka, bukan diyakini begitu saja.

x-bar Juga Variabel Acak #

Chapter Variabel Acak mendefinisikan variabel acak sebagai besaran yang nilainya baru pasti setelah proses acak selesai. Rata-rata sampel x̄ memenuhi definisi itu sepenuhnya. Sebelum sampel diambil, nilai x̄ belum tentu; begitu anggota sampel terpilih dan diukur, x̄ menjadi angka tetap. Proses acaknya adalah pengambilan sampel itu sendiri — hasil akhirnya bukan muka dadu, melainkan sebuah rata-rata.

Konsekuensi praktisnya mudah dijumpai. Dua tim survei yang masing-masing mewawancarai 30 responden dari kota yang sama hampir pasti melaporkan rata-rata pendapatan yang berbeda, meskipun keduanya mengikuti prosedur yang benar. Selisih itu bukan kesalahan hitung, melainkan wujud bahwa x̄ menyebar layaknya variabel acak mana pun. Pertanyaan berikutnya: menyebar di sekitar pusat berapa, dan selebar apa? Distribusi sampling menjawab kedua-duanya sekaligus.

Populasi Mini Enam Siswa #

Untuk melihat distribusi sampling secara utuh, kita memakai populasi terkecil yang masih bervariasi: nilai ulangan enam siswa. Populasi sekecil ini bisa dihitung sampai habis, sehingga tidak ada sampel yang terlewat.

populasi (N = 6): 60, 65, 70, 75, 80, 85
μ = (60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85) / 6 = 435 / 6 = 72.5
σ = 8.54   (simpangan baku populasi; nilai penuh 8.5391)

Menghitung Semua 15 Sampel n = 2 #

Kita mengambil sampel berukuran n = 2 tanpa pengembalian — persis mekanisme simple random sampling pada chapter Teknik Sampling. Banyaknya pasangan berbeda adalah kombinasi C(6, 2) = 15, dan setiap pasangan mempunyai peluang sama, 1/15. Tabel berikut mencatat seluruhnya beserta rata-ratanya:

Karena tiap sampel sama mungkinnya, frekuensi nilai x̄ di tabel itu adalah distribusi sampling x̄ yang lengkap:

Bentuk tabelnya sudah menarik: simetris, menumpuk di tengah, dan 72.5 — tepat nilai μ — muncul paling sering. Nilai ekstrem 60 dan 85 hanya menghasilkan x̄ yang ekstrem bila keduanya berpasangan; kejadian itu satu di antara lima belas. Rata-rata meredam nilai ekstrem: satu nilai tinggi dalam sampel selalu diimbangi nilai lain yang lebih rendah.

Dua Sifat Kunci Distribusi Sampling #

Sifat pertama menyangkut pusat. Menjumlahkan seluruh 15 nilai x̄ menghasilkan 1087.5, sehingga mean distribusi sampling adalah 1087.5 dibagi 15 sama dengan 72.5 — tepat μ. Dalam jangka panjang, menaksir μ dengan x̄ tidak condong ke atas maupun ke bawah; x̄ menaksir μ secara adil.

Sifat kedua menyangkut lebar. Simpangan baku 15 nilai x̄ adalah 5.40 — jauh lebih sempit dari σ populasi 8.54. Hubungan keduanya bisa dibaca dari rumus berikut:

σ / √n                 = 8.5391 / √2 = 6.0381
faktor koreksi hingga  = √((N - n) / (N - 1)) = √(4/5) = 0.8944
σ/√n × faktor koreksi  = 6.0381 × 0.8944 = 5.4006
sd distribusi x̄        = 5.4006   (hitungan langsung atas 15 nilai)

Angka σ/√n adalah lebar sebaran x̄ untuk pengambilan sampel dengan pengembalian. Karena kita mengambil tanpa pengembalian dari populasi hingga, satu nilai yang sudah terpilih tidak dapat muncul lagi pada sampel yang sama, sehingga sebaran menyempit sedikit; faktor koreksi hingga populasi (finite population correction) menangkap penyesempitan itu, dan hasil kalinya persis 5.4006 — cocok dengan hitungan langsung. Bila n kecil dibanding N — aturan praktis n/N ≤ 5% — faktor koreksi nyaris bernilai 1 dan boleh diabaikan; faktor ini akan kembali muncul pada chapter Menentukan Ukuran Sampel.

Menghitung dengan Python #

Kode berikut menghitung seluruh 15 sampel dan memverifikasi setiap angka di atas:

import statistics
from itertools import combinations
from math import sqrt

populasi = [60, 65, 70, 75, 80, 85]
N = len(populasi)
mu = statistics.mean(populasi)
sigma = statistics.pstdev(populasi)

pasangan = list(combinations(populasi, 2))
xbar = [statistics.mean(p) for p in pasangan]
fpc = sqrt((N - 2) / (N - 1))

print(f"jumlah sampel n = 2     : {len(pasangan)}")
print(f"mu populasi             : {mu}")
print(f"sigma populasi          : {sigma:.4f}")
print(f"mean distribusi x-bar   : {statistics.mean(xbar)}")
print(f"sd distribusi x-bar     : {statistics.pstdev(xbar):.4f}")
print(f"sigma / akar(n)         : {sigma / sqrt(2):.4f}")
print(f"faktor koreksi hingga   : {fpc:.4f}")
print(f"sigma/akar(n) x faktor  : {sigma / sqrt(2) * fpc:.4f}")

Output yang Dihasilkan:

jumlah sampel n = 2     : 15
mu populasi             : 72.5
sigma populasi          : 8.5391
mean distribusi x-bar   : 72.5
sd distribusi x-bar     : 5.4006
sigma / akar(n)         : 6.0381
faktor koreksi hingga   : 0.8944
sigma/akar(n) x faktor  : 5.4006

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 4-6 (populasi): μ dan σ dihitung sekali dengan statistics.mean dan statistics.pstdev — versi populasi dengan pembagi N.
2. Baris 8-9 (enumerasi): combinations(populasi, 2) menghasilkan seluruh 15 pasangan tanpa pengembalian; setiap pasangan dirata-ratakan menjadi satu nilai x̄.
3. Baris 10 (faktor koreksi): sqrt((N - 2) / (N - 1)) menghitung √((N − n)/(N − 1)) untuk n = 2, menghasilkan 0.8944.
4. Baris 12-20 (verifikasi): mean 15 nilai x̄ tercetak 72.5 — sama dengan μ; sd distribusi x̄ 5.4006 — sama dengan σ/√n dikali faktor koreksi. Seluruh sifat pada bagian sebelumnya direproduksi angka demi angka.

Fondasi bagi Statistika Inferensial #

Seluruh inferensi berdiri di atas pertanyaan ini: seberapa jauh x̄ dari satu sampel bisa melenceng dari μ? Distribusi sampling menjawab dengan bahasa peluang — kita kini tahu pusatnya (μ), lebarnya (σ/√n dengan koreksi), dan pada populasi mini kita, bentuk lengkapnya. Dari peta itu, pernyataan seperti “x̄ sebesar ini masih wajar bila μ benar” atau “μ hampir pasti berada di rentang berikut” bisa dihitung, bukan diduga.

Populasi mini kita, bagaimanapun, simetris dan kecil. Pertanyaan yang jauh lebih menantang: bagaimana bila populasinya besar dan miring seperti pendapatan rumah tangga? Apakah distribusi x̄ tetap bersahabat? Jawabannya disediakan teorema paling terkenal statistika — Central Limit Theorem, topik chapter berikutnya. Materi sejenis bisa ditelusuri pada Penn State STAT 500 dan NIST Engineering Statistics Handbook .