Confidence Interval

Menyebut taksiran tanpa ukuran ketidakpastian adalah setengah laporan. Ketika tim mengumumkan rata-rata nilai 83.33 dari sembilan siswa, pertanyaan pertama pengguna data bukan “angkanya berapa”, melainkan “berapa jauh angka itu bisa dipercaya”. Confidence interval (CI, rentang kepercayaan) menjawab dengan format x̄ ± margin: satu taksiran titik plus-minus seberapa jauh taksiran itu biasanya melenceng, dilengkapi tingkat keyakinan. Chapter ini membangun CI untuk mean dan proporsi, menghitung satu contoh lengkap dari data sembilan siswa, dan — bagian terpenting — melatih interpretasi yang benar, sebab CI adalah konsep yang paling sering salah dibaca di seluruh statistika.

Konsep: Taksiran Plus Margin Kesalahan #

Bentuk umum confidence interval adalah:

taksiran ± margin kesalahan

margin = nilai kritis × standard error

Dua bahan pembangunnya sudah kita kuasai. Standard error (chapter Standard Error) mengukur seberapa jauh x̄ tipikalnya melenceng dari μ; Central Limit Theorem menjamin sebaran x̄ berbentuk lonceng sehingga nilai kritis bisa dibaca dari distribusi normal atau t. Tingkat keyakinan — 90%, 95%, atau 99% — menentukan seberapa lebar kita membuka rentang: semakin tinggi keyakinan, semakin besar nilai kritis, semakin lebar intervalnya.

Rumus: z atau t #

Bentuk CI untuk μ bergantung pada satu pertanyaan: apakah σ populasi diketahui?

σ diketahui    : x̄ ± z × SE        dengan SE = σ/√n
σ tak diketahui : x̄ ± t(n-1) × SE   dengan SE = s/√n

Distribusi normal menyediakan z; distribusi t-Student dengan derajat kebebasan n − 1 menyediakan penggantinya ketika σ ditaksir oleh s — persis aturan dari chapter Distribusi t-Student. Pada praktik nyata σ nyaris tak pernah diketahui, sehingga jalur t adalah jalur utama; jalur z tetap dipakai saat σ historis tersedia (misalnya kendali kualitas dengan mesin yang sudah terkarakterisasi) atau saat n besar dan t menyatu dengan normal. Nilai kritis z yang layak dihafal:

Angka 1.96 pernah diperkenalkan chapter Distribusi Normal sebagai pemotong 2.5% di tiap ekor; perannya di sini adalah membuka rentang yang menampung 95% sebaran x̄.

Contoh Lengkap: Sembilan Siswa #

Kita hitung CI 95% untuk μ dari data sembilan siswa (chapter Standar Deviasi). Seluruh langkah dihitung memakai nilai penuh lalu dibulatkan ke dua desimal pada hasil akhir:

data    : 68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97   (n = 9)
x̄       = 83.33      (nilai penuh 83.3333)
s        = 9.41       (nilai penuh 9.4074)
SE       = s/√n = 9.4074/3 = 3.1358
t(8)     = 2.306      (kuantil 0.975 distribusi t dengan df = 8)
margin   = 2.306 × 3.1358 = 7.23
CI 95%   = 83.33 ± 7.23 = [76.10, 90.56]

Karena σ tidak diketahui dan n = 9 kecil, jalurnya t dengan df = n − 1 = 8. Perhatikan bahwa 2.306 melebihi 1.96: sampel sembilan data harus membayar interval lebih lebar karena menaksir σ sekaligus μ — harga yang sudah dijelaskan chapter Distribusi t-Student.

Interpretasi yang Benar #

Interpretasi CI sering dikutip, jarang benar. Tafsiran yang sahih untuk contoh di atas:

“Kita yakin 95% bahwa interval [76.10, 90.56] memuat μ”, dalam arti: bila prosedur yang sama — ambil sembilan siswa, hitung x̄, s, dan rentangnya — diulang berkali-kali, 95% dari seluruh interval yang terbentuk akan memuat μ.

Kata kuncinya adalah prosedur, bukan satu interval. μ bukan variabel acak; nilai populasi itu tetap, yang berubah-ubah adalah rentangnya karena dibangun dari sampel. Satu interval konkret [76.10, 90.56] entah memuat μ atau tidak — kita tidak tahu yang mana — dan setelah interval terbentuk, tidak ada peluang 95% yang melekat padanya.

Bayangkan lempar jaring ke arah patok tetap di lapangan: patoknya tidak pernah berpindah, tetapi tiap lemparan menghasilkan lingkaran yang jatuh di posisi sedikit berbeda. Klaim yang jujur hanya tentang jangka panjang lemparan: 95% lingkaran menutup patok. Satu lemparan yang sudah mendarat tidak punya “probabilitas 95%” — lingkaran itu menutup patok atau tidak.

CI untuk Proporsi #

Untuk proporsi, taksirannya p̂ dan rumus intervalnya (versi Wald, memakai z):

CI = p̂ ± z × √(p̂(1 - p̂)/n)

Contoh: survei kepuasan menghubungi 300 responden; 240 menyatakan puas, sehingga p̂ = 0.8. Dengan z = 1.96:

SE     = √(0.8 × 0.2 / 300) = 0.0231
margin = 1.96 × 0.0231 = 0.045
CI 95% = 0.8 ± 0.045 = [0.755, 0.845]

Laporan yang benar menyebut: “proporsi puas 80%, margin kesalahan ±4.5 poin persentase” — format yang akrab di liputan survei, dan kini kita tahu dari mana angka margin itu lahir. Interpretasinya tetap tentang prosedur: 95% interval semacam ini memuat p populasi.

Lebar Interval: n dan Tingkat Keyakinan #

Dua tuas mengatur lebar CI. Tuas pertama, tingkat keyakinan (n = 9, SE penuh 3.1358):

Kenaikan dari 95% ke 99% melebarkan margin dari 7.23 ke 10.52 — keyakinan ekstra dibayar dengan rentang yang jauh lebih kabur. Tuas kedua, ukuran sampel (tingkat 95%, z = 1.96, σ = 9.41 sebagai ilustrasi):

Menaikkan n dari 9 ke 36 memangkas margin tepat setengah — hukum akar-n dari chapter Standard Error bekerja langsung pada lebar interval. Dua tuas ini adalah bahan negosiasi setiap perancang survei, dan pertanyaan finalnya selalu: berapa n agar margin tertentu tercapai?

Menghitung dengan Python #

Blok berikut menghitung kedua contoh di atas sekaligus:

import statistics
from math import sqrt
from scipy.stats import t

nilai = [68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97]
n = len(nilai)
xbar = statistics.mean(nilai)
s = statistics.stdev(nilai)
se = s / sqrt(n)
tk = t.ppf(0.975, n - 1)
margin = tk * se

print(f"x-bar    = {xbar:.2f}")
print(f"s        = {s:.2f}")
print(f"SE       = {se:.2f}")
print(f"t(8)     = {tk:.3f}")
print(f"margin   = {margin:.2f}")
print(f"CI 95%   = [{xbar - margin:.2f}, {xbar + margin:.2f}]")

phat = 240 / 300
se_p = sqrt(phat * (1 - phat) / 300)
print(f"SE prop  = {se_p:.4f}")
print(f"CI prop  = [{phat - 1.96 * se_p:.3f}, {phat + 1.96 * se_p:.3f}]")

Output yang Dihasilkan:

x-bar    = 83.33
s        = 9.41
SE       = 3.14
t(8)     = 2.306
margin   = 7.23
CI 95%   = [76.10, 90.56]
SE prop  = 0.0231
CI prop  = [0.755, 0.845]

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3-8 (bahan mean): x̄, s, dan SE dihitung dari data mentah tanpa pembulatan antara; t.ppf(0.975, 8) mengambil kuantil t 97.5% dengan df = 8, hasil 2.306.
2. Baris 9-15 (CI mean): margin 2.306 × 3.1358 tercetak 7.23 dan interval [76.10, 90.56] — persis hitungan manual, terbebas dari pembulatan antar-langkah.
3. Baris 17-20 (CI proporsi): p̂ = 0.8, SE 0.0231, interval [0.755, 0.845]; z = 1.96 ditulis eksplisit agar asal nilai kritisnya terbaca.

Confidence interval juga menyimpan hubungan diam-diam dengan pengujian hipotesis: interval 95% dan uji dua sisi pada taraf 5% memutus hal yang sama. Bila nilai yang diklaim hipotesis null berada di luar CI 95%, uji akan menolaknya — pratinjau mekanisme yang dibangun lengkap pada Section Pengujian Hipotesis. Sebelum sampai ke sana, satu pertanyaan perancangan harus dijawab lebih dulu: berapa responden yang perlu diambil agar margin tertentu tercapai? Chapter Menentukan Ukuran Sampel menutup section ini dengan jawabannya. Rujukan lanjutan: NIST Engineering Statistics Handbook dan OpenIntro Statistics .