Confidence Interval untuk Proporsi

Chapter Confidence Interval menutup hitungannya dengan survei kepuasan: 240 dari 300 responden puas, p̂ = 0.8, dan interval 95% [0.755, 0.845]. Angka itu benar, tetapi prosedurnya menyimpan syarat tersembunyi yang belum dibahas — dan syarat itu sering tidak terpenuhi pada survei kecil maupun proporsi ekstrem. Chapter ini membedah apa yang terjadi ketika syarat dilanggar (batas interval keluar dari rentang wajar [0, 1]), memperkenalkan Wilson score interval sebagai perbaikan yang tetap sederhana, lalu memperluas kerangka yang sama ke pertanyaan dua kelompok: apakah proporsi pengunjung iklan A berbeda dari iklan B?

Rekap Rumus Wald dan Asal Standard Error-nya #

Interval pada survei 300 responden tadi memakai rumus Wald:

CI = p̂ ± z × √(p̂(1 - p̂)/n)

p̂ = proporsi sampel (jumlah sukses / n)
z = nilai kritis normal (1.96 untuk tingkat 95%)

Isi di dalam akar adalah standard error p̂ — persis rumus SE(p̂) = √(p(1−p)/n) dari chapter Standard Error, dengan p diganti taksiran p̂ setelah data terkumpul. Asal-usulnya juga sudah dibahas di sana: p̂ adalah rata-rata n nilai Bernoulli (0/1), sehingga variansnya p(1−p)/n. Satu konsekuensi penting untuk bagian ini: p(1−p) maksimum 0.25 tepat di p = 0.5 dan mengecil menuju nol saat p ekstrem — dan di wilayah ekstrem itu p̂ duduk dekat batas 0 atau 1, sehingga margin simetris mudah melampaui ruang nilai yang sah.

Syarat Keberhasilan-Kegagalan #

Rumus Wald berdiri di atas hampiran normal terhadap sebaran binomial, dan hampiran itu hanya layak bila distribusi di belakangnya punya cukup massa di kedua sisi. Aturan pemeriksaannya:

syarat : n·p̂ >= 5  dan  n(1 - p̂) >= 5
versi lebih ketat : keduanya >= 10

Angka n·p̂ adalah banyaknya observasi sukses yang diharapkan, dan n(1−p̂) banyaknya kegagalan; keduanya harus cukup besar agar sebaran sampling p̂ layak dihampiri kurva lonceng. Ketika salah satu kecil, sebaran p̂ menjadi miring — ekor memanjang di sisi yang jarang muncul — dan janji Central Limit Theorem belum terpenuhi pada ukuran sampel itu. Survei 300 responden kita lolos dengan lebar: n·p̂ = 240 dan n(1−p̂) = 60.

Ketika Wald Gagal: Kasus 8 dari 10 #

Kepekaan rumus ini paling terlihat pada sampel kecil. Sebuah kafe menguji menu baru kepada 10 pelanggan pertama; 8 menyatakan suka, sehingga p̂ = 0.8. Pemeriksaan syarat menghasilkan n·p̂ = 8 (lolos) tetapi n(1−p̂) = 2 — gagal, sebab hanya dua observasi tidak-suka yang menopang sisi kiri interval. Hitungan Wald-nya tetap bisa dijalankan (nilai penuh dipakai, hasil dibulatkan ke empat desimal):

SE     = √(0.8 × 0.2 / 10) = √0.016 = 0.1265
margin = 1.96 × 0.1265 = 0.2479
CI 95% = 0.8 ± 0.2479 = [0.5521, 1.0479]

Batas atas 1.0479 melebihi 1 — interval memuat nilai proporsi yang mustahil secara definisi. Cerminnya terjadi di sisi bawah: bila hanya 1 dari 50 responden memilih opsi baru (p̂ = 0.02), Wald menghasilkan [−0.0188, 0.0588], lengkap dengan proporsi negatif. Penyebabnya bukan salah hitung: margin z × SE dibangun simetris di sekitar p̂, padahal ruang nilai sah proporsi berbatas 0 dan 1. Ketika p̂ dekat batas, simetri itu mendorong interval keluar dari ruang sah.

Wilson Score Interval #

Perbaikan klasiknya mengubah satu keputusan pada rumus. Wald menaruh p̂ di dalam SE, sehingga margin dihitung dari SE versi taksiran. Wilson memakai persamaan kuadratik: proporsi populasi p dianggap “konsisten dengan data” bila p̂ berjarak paling banyak z standard error dari p — dengan SE yang dihitung dari p itu sendiri, bukan dari p̂:

(p̂ - p)² = z² × p(1 - p) / n

Menyelesaikan kuadratik itu terhadap p menghasilkan interval Wilson. Bentuk yang paling mudah dihitung tangan adalah bentuk pusat-lebar:

pusat  = (p̂ + z²/2n) / (1 + z²/n)

lebar  = [z / (1 + z²/n)] × √(p̂(1 - p̂)/n + z²/4n²)

CI     = pusat ± lebar

Dua properti menjelaskan mengapa Wilson tidak pernah keluar dari [0, 1]. Pertama, penyebut (1 + z²/n) menarik pusat interval menjauhi batas ekstrem, menuju 0.5 — interval diimbangi ke arah tengah ruang sah. Kedua, suku tambahan z²/4n² di dalam akar menjaga lebar minimum: saat p̂ mendekati 0 atau 1, p̂(1−p̂) menyusut hingga margin Wald nyaris nol, sedangkan Wilson tetap membuka rentang yang jujur. Hasilnya adalah interval yang sah untuk semua n dan semua p̂, tanpa syarat keberhasilan-kegagalan.

Contoh Terhitung: 8 dari 10 dengan Wilson #

Kita kerjakan kasus kafe di atas sepenuhnya dengan tangan (z = 1.96, z² = 3.8416; hasil dibulatkan ke empat desimal):

z²/n   = 3.8416 / 10  = 0.38416      1 + z²/n = 1.38416
z²/2n  = 3.8416 / 20  = 0.19208

akar dalam = √(0.016 + 3.8416/400) = √(0.016 + 0.009604) = √0.025604 = 0.1600

pusat  = (0.8 + 0.19208) / 1.38416 = 0.99208 / 1.38416 = 0.7167
lebar  = (1.96 / 1.38416) × 0.1600  = 1.4160 × 0.1600   = 0.2266

CI 95% = 0.7167 ± 0.2266 = [0.4902, 0.9433]

Wilson menghasilkan [0.4902, 0.9433] — seluruhnya di dalam [0, 1]. Pusatnya (0.7167) bergeser ke bawah menjauhi p̂ = 0.8, dan kedua batasnya menghormati fakta bahwa proporsi tidak mungkin melebihi 1. Kedua metode membaca data yang sama; yang berbeda hanyalah rumus, dan Wilson-lah yang dirancang untuk wilayah ini.

Verifikasi dengan statsmodels #

statsmodels menyediakan proportion_confint dengan beberapa metode sekaligus, sehingga hitungan manual bisa diperiksa langsung:

from math import sqrt
from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint

k, n = 8, 10
phat = k / n
se = sqrt(phat * (1 - phat) / n)
print(f"Wald   8/10    : [{phat - 1.96 * se:.4f}, {phat + 1.96 * se:.4f}]")

bawah, atas = proportion_confint(k, n, alpha=0.05, method="wilson")
print(f"Wilson 8/10    : [{bawah:.4f}, {atas:.4f}]")

bawah2, atas2 = proportion_confint(240, 300, alpha=0.05, method="wilson")
print(f"Wilson 240/300 : [{bawah2:.4f}, {atas2:.4f}]")

Output yang Dihasilkan:

Wald   8/10    : [0.5521, 1.0479]
Wilson 8/10    : [0.4902, 0.9433]
Wilson 240/300 : [0.7511, 0.8413]

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 1-7 (Wald manual): rumus Wald ditulis eksplisit dengan z = 1.96 supaya asal angka [0.5521, 1.0479] terbaca dan cocok dengan hitungan manual di atas.
2. Baris 9-10 (Wilson 8/10): proportion_confint menerima jumlah sukses dan n, lalu memakai z kritis eksak 1.959964 — bukan 1.96; hasil [0.4902, 0.9433] berimpit dengan hitungan manual hingga desimal keempat.
3. Baris 12-13 (Wilson survei): untuk 240/300, Wilson menghasilkan [0.7511, 0.8413] — berdekatan dengan Wald [0.755, 0.845] dari chapter Confidence Interval, hanya bergeser tipis ke arah 0.5. Pada n besar dengan p̂ moderat, kedua metode nyaris tak terbedakan; wilayah perselisihan mereka memang sampel kecil dan p̂ ekstrem.

Kapan Wald, Kapan Wilson #

Pilihan metode bisa diringkas dalam satu tabel:

Praktik modern condong memakai Wilson sebagai pilihan bawaan: perhitungannya satu baris di perangkat lunak, tidak menuntut syarat, dan tidak pernah menghasilkan batas mustahil. Wald tetap sah untuk perkiraan cepat ketika syarat 5/5 jelas terpenuhi — termasuk saat menafsirkan margin kesalahan pada laporan survei.

CI untuk Selisih Dua Proporsi #

Pertanyaan dua kelompok memakai kerangka yang sama: taksiran (p̂2 − p̂1) plus-minus margin, dengan standard error yang menggabungkan ketidakpastian kedua sisi:

CI = (p̂2 - p̂1) ± z × √( p̂1(1 - p̂1)/n1 + p̂2(1 - p̂2)/n2 )

syarat: hitungan sukses dan kegagalan >= 5 di tiap kelompok

Contohnya sebuah merek kopi lokal menguji dua iklan di media sosial. Dari 250 orang yang melihat iklan versi A, 60 kemudian mengunjungi toko online (p̂1 = 0.24); dari 250 orang yang melihat versi B, 75 mengunjungi (p̂2 = 0.30). Selisih taksirannya 0.30 − 0.24 = 0.06 — enam poin persentase — dan seluruh langkah berikut dihitung memakai nilai penuh lalu dibulatkan ke empat desimal:

SE     = √(0.24 × 0.76/250 + 0.30 × 0.70/250)
       = √(0.000730 + 0.000840)
       = √0.001570
       = 0.0396

margin = 1.96 × SE = 0.0777
CI 95% = 0.06 ± 0.0777 = [-0.0177, 0.1377]

Interval [−0.0177, 0.1377] memuat nol, sehingga pada tingkat 95% data ini belum cukup membuktikan iklan B lebih efektif — selisih enam poin masih dalam rentang fluktuasi sampling dua kelompok. Interpretasi memuat-nol inilah padanan estimasi dari keputusan “gagal menolak” pada pengujian hipotesis. Sebagai pembanding: bila versi B menarik 90 dari 250 (p̂2 = 0.36), CI-nya menjadi [0.0404, 0.1996] yang sepenuhnya di atas nol — perbedaan terdeteksi, dan laporan berhak menyebut “iklan B mendongkrak kunjungan antara 4.0 dan 20.0 poin persentase”.

Menghitung dengan Python #

Blok berikut menghitung kedua kasus iklan di atas:

from math import sqrt

x1, n1 = 60, 250   # iklan A: 60 dari 250 mengunjungi toko
x2, n2 = 75, 250   # iklan B: 75 dari 250 mengunjungi toko
p1, p2 = x1 / n1, x2 / n2
selisih = p2 - p1

se = sqrt(p1 * (1 - p1) / n1 + p2 * (1 - p2) / n2)
margin = 1.96 * se
print(f"p1 = {p1:.2f}   p2 = {p2:.2f}   selisih = {selisih:.2f}")
print(f"SE selisih  = {se:.4f}")
print(f"margin      = {margin:.4f}")
print(f"CI 95%      = [{selisih - margin:.4f}, {selisih + margin:.4f}]")

Output yang Dihasilkan:

p1 = 0.24   p2 = 0.30   selisih = 0.06
SE selisih  = 0.0396
margin      = 0.0777
CI 95%      = [-0.0177, 0.1377]

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3-6 (bahan): sukses dan n per kelompok dihitung menjadi p̂1, p̂2, dan selisihnya; menulis input sebagai hitungan (60/250) menjaga keterbacaan asal angka 0.24.
2. Baris 8-13 (SE dan interval): rumus SE gabungan diterjemahkan apa adanya — hasil 0.0396 persis hitungan manual; interval [−0.0177, 0.1377] memuat nol, dan kesimpulan “belum terdeteksi berbeda” dibaca langsung dari tanda batasnya.

Jembatan ke Margin of Error dan Ukuran Sampel #

Setiap bilah kesalahan (margin of error) yang menyertai hasil survei — “80% puas, ±4.5 poin persentase” — adalah margin interval proporsi pada tingkat 95%; 80% ± 4.5% persis interval [0.755, 0.845] pembuka chapter ini. Ketika perancang survei menuntut margin lebih ketat, pertanyaannya berbalik menjadi kebutuhan sampel: chapter Menentukan Ukuran Sampel menurunkan angka terkenal 385 responden untuk margin ±5 poin persentase. Kini seluruh rantainya terbaca: SE mengatur lebar interval, interval menentukan margin, margin menentukan n — dan Wilson menjaga rantai itu tetap sah ketika sampel mengecil.

Proporsi punya ruang nilai [0, 1] yang menjaga taksirannya terkurung; mean tidak punya pagar semacam itu. Pertanyaan dua kelompoknya — “berapa besar selisih rata-rata dua kelas?” — menuntut standard error bentuk baru. Chapter Confidence Interval untuk Selisih Dua Mean membangun interval itu dengan variance gabungan, Welch, dan desain berpasangan. Rujukan konsep lebih lanjut: Penn State STAT 500 dan NIST Engineering Statistics Handbook .