Central Limit Theorem

Chapter sebelumnya menuntaskan pusat dan lebar distribusi sampling untuk populasi mini enam siswa yang bisa dihitung habis. Satu pertanyaan belum tersentuh: bagaimana bentuk distribusi itu, dan bagaimana bila populasinya bukan sebaran yang rapi, melainkan miring seperti pendapatan atau waktu tunggu? Central Limit Theorem (CLT, teorema limit terpusat) menjawab dengan klaim yang terdengar terlalu murah hati: bentuk populasi tidak penting — untuk n yang cukup besar, distribusi x̄ mendekati lonceng. Banyak pengajar menyebutnya teorema terpenting di seluruh statistika, dan chapter ini menunjukkan mengapa lewat simulasi yang bisa diulang baris demi baris.

Pernyataan Teorema #

Bentuk resmi klaimnya ringkas:

Central Limit Theorem (untuk rata-rata sampel):

Populasi apa pun bentuknya, dengan mean μ dan simpangan baku σ,
distribusi sampling x̄ mendekati distribusi normal
(mean μ, simpangan baku σ/√n)
seiring ukuran sampel n membesar.

Bagian paling berani adalah frasa “apa pun bentuknya”: miring ke kanan, dua puncak, bahkan seragam datar — semuanya menghasilkan x̄ yang menyebar mendekati lonceng. Intuisinya adalah lanjutan dari pengamatan chapter Distribusi Sampling: rata-rata meredam nilai ekstrem. Dalam sampel berukuran 30, satu nilai yang menjulang terdilusi oleh 29 nilai lain, dan penjumlahan banyak pengaruh kecil yang saling meniadakan memang berujung pada kurva lonceng. Chapter Distribusi Normal pernah menjanjikan bahwa normal bukan pilihan selera, melainkan akibat matematis; CLT adalah akibat matematis itu.

Dua catatan menjaga kejujuran teorema. Pertama, konvergensinya bertahap — kata kuncinya “mendekati”, bukan “tepat menjadi”. Kedua, kecepatan konvergensinya bergantung pada populasi: semakin jauh bentuk populasi dari lonceng, semakin besar n yang dibutuhkan.

Simulasi: Populasi Miring Menjadi Lonceng #

Kita uji klaim itu pada kasus terburuk yang umum: waktu tunggu pelanggan yang mengikuti distribusi eksponensial dengan rata-rata 12 menit. Distribusi eksponensial sangat miring ke kanan — kebanyakan pelanggan menunggu sebentar, sebagian kecil menunggu sangat lama — dengan simpangan baku 12 menit dan skewness teoretis 2. Program simulasi mengambil 1000 sampel, masing-masing berisi 30 waktu tunggu, lalu menghitung x̄ dari setiap sampel.

mean 1000 x̄ = 12.01   (target μ = 12)
sd   1000 x̄ = 2.20    (target σ/√n = 2.19)
68%  x̄ jatuh dalam μ ± 1 SE
95%  x̄ jatuh dalam μ ± 2 SE

Angka-angka itu (dibulatkan ke dua desimal) adalah perilaku kurva lonceng yang nyaris sempurna: pusat tepat di μ, lebar mengikuti σ/√n, dan proporsi dalam satu serta dua sebaran mengikuti aturan empiris 68-95-99.7 dari chapter Distribusi Normal — padahal populasi aslinya tidak menyerupai lonceng sama sekali. Sketsa berikut memperlihatkan kontrasnya:

populasi eksponensial (miring kanan)    distribusi x-bar, n = 30 (lonceng)

 |                                         |
 |*                                        |
 |**                                       |        **
 |***                                      |      ******
 |*****                                    |   ***********
 |*********  ......                        | ***************
 |                                         |****************  ......
 +---------------------->                  +----------------------->
 0        12        24                     4        12        20

Sketsa tidak berskala, tetapi pesannya tepat: dari sebaran yang berat sebelah, rata-rata sampel menghasilkan sebaran simetris yang menumpuk di μ. Sumber daya inferensial kita — tabel z, angka 1.96, aturan 68-95-99.7 — tiba-tiba berlaku pada populasi yang tidak pernah berbentuk normal.

Simulasi dengan Python #

Kode berikut mereproduksi seluruh angka di atas dengan seed tetap:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
mu = 12.0        # mean populasi eksponensial (menit)
sigma = 12.0     # simpangan baku populasi eksponensial
n, jumlah_sampel = 30, 1000

xbar = rng.exponential(scale=mu, size=(jumlah_sampel, n)).mean(axis=1)
se_teori = sigma / n**0.5

print(f"mu populasi          = {mu:.2f}")
print(f"mean dari 1000 x-bar = {xbar.mean():.2f}")
print(f"sigma/akar(n) teori  = {se_teori:.2f}")
print(f"sd dari 1000 x-bar   = {xbar.std(ddof=1):.2f}")
dalam1 = np.mean(np.abs(xbar - mu) <= se_teori)
dalam2 = np.mean(np.abs(xbar - mu) <= 2 * se_teori)
print(f"dalam mu +- 1 SE     = {dalam1:.2f}")
print(f"dalam mu +- 2 SE     = {dalam2:.2f}")

Output yang Dihasilkan:

mu populasi          = 12.00
mean dari 1000 x-bar = 12.01
sigma/akar(n) teori  = 2.19
sd dari 1000 x-bar   = 2.20
dalam mu +- 1 SE     = 0.68
dalam mu +- 2 SE     = 0.95

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3 (seed tetap): default_rng(42) memastikan simulasi deterministik — menjalankan ulang kode menghasilkan angka yang persis sama.
2. Baris 4-6 (parameter): populasi eksponensial dengan skala 12, sehingga μ = σ = 12; tiap sampel berisi n = 30 nilai dan totalnya 1000 sampel.
3. Baris 8 (seribu rata-rata): rng.exponential(..., size=(1000, 30)) membentuk matriks 1000 × 30, lalu .mean(axis=1) merata-ratakan tiap baris — satu x̄ per sampel.
4. Baris 9 (target teori): σ/√n = 12/√30 = 2.19 menjadi pembanding bagi sd hasil simulasi.
5. Baris 11-16 (verifikasi bentuk): mean simulasi 12.01 dan sd 2.20 menempel pada target; proporsi 0.68 dan 0.95 di dalam μ ± 1 SE dan μ ± 2 SE menegaskan perilaku lonceng dari aturan empiris.

Berapa Besar n yang Cukup #

CLT tidak menyebut satu angka ambang, karena kecepatan konvergensinya bergantung pada sebaran populasi. Praktik lazim memakai pedoman kasar berikut:

Angka 30 yang populer berasal dari kompromi praktis, bukan hukum alam: untuk populasi bentuk sedang, selisih distribusi x̄ terhadap normal sudah kecil pada n = 30. Bila data mentah tampak sangat miring, naikkan n — atau periksa dulu histogramnya sebelum mempercayai angka kritis apa pun.

Implikasi: Inferensi Tanpa Tahu Bentuk Populasi #

Implikasi CLT menjelaskan status istimewanya. Karena x̄ menyebar normal untuk n besar, statistik z = (x̄ − μ)/(σ/√n) mengikuti normal baku meski populasi tidak normal — sehingga seluruh perhitungan peluang dari chapter Distribusi Normal tetap terpakai untuk menilai seberapa jauh x̄ dari μ. Seluruh confidence interval dan uji hipotesis pada section ini dan section Pengujian Hipotesis berdiri di atas jaminan itu.

Dua batasan perlu dicatat. Pertama, CLT berlaku untuk statistik bentuk penjumlahan-rata — mean, total, dan proporsi (rata-rata nilai Bernoulli) — tetapi tidak untuk median atau simpangan baku. Kedua, σ yang dipakai sering tidak diketahui dan harus diganti s; pada sampel kecil penggantian itu menggeser distribusi ke t-Student, persis pembahasan chapter Distribusi t-Student.

CLT memberi kita bentuk dan pusat distribusi x̄. Lebar sebaran itu, σ/√n, ternyata pantas mendapatkan nama resmi tersendiri karena memuat seluruh informasi ketidakpastian penaksiran. Nama itu adalah standard error — topik chapter berikutnya. Rujukan lanjutan untuk CLT tersedia di NIST Engineering Statistics Handbook dan Khan Academy .