Populasi dan Sampel

Populasi dan sampel adalah dua objek paling dasar dalam statistika, dan hampir seluruh metode inferensi berdiri di atas hubungan keduanya. Topik ini mendefinisikan keduanya, lalu membedakan parameter pada sisi populasi dari statistik pada sisi sampel. Sebuah simulasi kemudian menunjukkan bahwa statistik berayun dari sampel ke sampel, sedangkan parameter tidak. Sampel diterima sebagai jalan pintas yang sah justru karena ayunan itu dapat diukur dan dilaporkan sebagai ketidakpastian.

Populasi, sampel, dan ukurannya#

Populasi (population) adalah seluruh kumpulan objek yang menjadi sasaran analisis, sedangkan sampel (sample) adalah bagian dari populasi yang benar-benar diukur. Contoh yang dipakai di sini adalah nilai ujian statistika dari 10000 siswa, sehingga ukuran populasinya $N = 10000$. Sebuah sampel berupa 50 nilai yang terpilih dari kumpulan itu, dengan ukuran sampel $n = 50$. Pemisahan dua istilah ini penting karena besaran yang dihitung pada populasi dan pada sampel memperoleh perlakuan berbeda.

Populasi nyata hampir selalu tidak terukur penuh. Mengukur seluruh anggota membutuhkan biaya dan waktu yang besar, akses ke sebagian anggota sering kali mustahil, dan sebagian pengujian sifatnya merusak objek sehingga tidak dapat dilakukan terhadap semuanya. Pengujian umur bohlam misalnya hanya dapat dilakukan pada sebagian kecil produksi karena bohlam yang diuji habis pada pengujian itu. Sebagian populasi juga tidak berhenti bergerak, misalnya angkatan siswa yang berganti setiap tahun, sehingga pengukuran penuh sudah kedaluwarsa sebelum selesai. Kondisi itulah yang membuat kerja statistika hampir selalu berlangsung pada sampel, bukan pada populasi utuh.

Parameter dan statistik#

Parameter (parameter) adalah besaran yang merangkum seluruh populasi, sedangkan statistik (statistic) adalah besaran yang dihitung dari sampel. Rata-rata populasi dilambangkan $\mu$, variansi (variance) populasi $\sigma^2$, dan simpangan baku (standard deviation) populasi $\sigma$. Padanannya pada sampel adalah $\bar{x}$ sebagai rata-rata sampel, $s^2$ sebagai variansi sampel, dan $s$ sebagai simpangan baku sampel. Dua besaran terakhir dihitung langsung dari data sampel melalui

Status keduanya berbeda secara mendasar. Parameter melekat pada populasi yang tetap, sehingga nilainya tetap pula, meskipun hampir selalu tidak diketahui pada populasi nyata. Statistik dihitung dari sampel yang berganti-ganti, sehingga nilainya berubah dari satu sampel ke sampel lain dan berperan sebagai variabel acak. Perbedaan tersebut dirangkum pada tabel berikut.

Diagram berikut merangkum arah hubungan keduanya. Pensampelan (sampling) menurunkan populasi menjadi sampel, sedangkan inferensi mengembalikan penilaian dari statistik sampel ke parameter populasi.

Ayunan statistik dalam simulasi#

Simulasi memberi kemudahan yang tidak dimiliki data nyata, yaitu populasi dapat dibuat lebih dahulu sehingga parameternya dapat dihitung persis. Skrip berikut membentuk populasi nilai ujian 10000 siswa dari model normal dengan rata-rata 75 dan simpangan baku 10, menghitung $\mu$ dan $\sigma$ hasil simulasinya, lalu menarik tiga sampel berukuran 50. Setelah itu, 100 sampel ulang berukuran sama dibentuk untuk mengukur seberapa jauh $\bar{x}$ berayun.

"""Parameter populasi simulasi dan ayunan statistik sampel."""
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)

# Populasi simulasi: nilai ujian statistika 10000 siswa
populasi = rng.normal(75.0, 10.0, size=10_000)
mu = np.mean(populasi)
sigma = np.std(populasi, ddof=0)
print(f"Parameter populasi (N = 10000) : mu = {mu:.4f}, sigma = {sigma:.4f}")

# Tiga sampel berukuran n = 50, diambil tanpa pengembalian
for i in range(3):
    sampel = rng.choice(populasi, size=50, replace=False)
    xbar = np.mean(sampel)
    s = np.std(sampel, ddof=1)
    print(f"Sampel {i + 1} (n = 50)        : x-bar = {xbar:.4f}, s = {s:.4f}")

# Ayunan x-bar pada 100 sampel ulang berukuran sama
xbar_100 = np.array([np.mean(rng.choice(populasi, size=50, replace=False))
                     for _ in range(100)])
print(f"Ayunan x-bar (100 sampel)      : min = {xbar_100.min():.4f}, "
      f"max = {xbar_100.max():.4f}, std = {xbar_100.std(ddof=1):.4f}")

Parameter populasi (N = 10000) : mu = 74.8975, sigma = 10.0629
Sampel 1 (n = 50)        : x-bar = 71.9972, s = 9.1763
Sampel 2 (n = 50)        : x-bar = 75.5854, s = 8.9544
Sampel 3 (n = 50)        : x-bar = 76.2508, s = 10.8171
Ayunan x-bar (100 sampel)      : min = 71.4414, max = 78.9455, std = 1.4368

Parameter populasi tercetak sebagai $\mu = 74.8975$ dan $\sigma = 10.0629$, yang menyimpang sedikit dari 75 dan 10 karena populasi berupa 10000 nilai acak, bukan rumus teoretis. Tiga sampel menghasilkan $\bar{x}$ sebesar 71.9972, 75.5854, dan 76.2508. Semuanya dekat dengan $\mu$, tetapi tidak satu pun sama persis, dan selisih terjauhnya hampir 3 poin. Ringkasan 100 sampel memperlihatkan ayunan yang lebih lengkap, yaitu $\bar{x}$ minimum 71.4414, maksimum 78.9455, dengan simpangan baku antarsampel hanya 1.4368.

Angka terakhir menyimpan pesan penting. Sebaran nilai ujian individu memiliki simpangan baku sekitar 10.06, sedangkan sebaran rata-rata sampel berukuran 50 hanya sekitar 1.44, sekitar tujuh kali lebih kecil. Rata-rata meratakan fluktuasi individu, sehingga statistiknya jauh lebih stabil daripada datanya. Kestabilan inilah yang dirumuskan secara formal dalam konsep distribusi pensampelan.

Mengapa sampel menjadi jalan pintas yang sah#

Sampel dikatakan sah ketika proses pemilihannya acak, yaitu setiap anggota populasi memiliki peluang yang diketahui untuk terpilih. Keacakan tidak menghilangkan ayunan statistik, tetapi membuat ayunan itu tidak berpihak, sehingga rata-rata jangka panjang dari statistik yang sejenis berhimpitan dengan parameternya. Prosedur yang jelas juga membuat pengambilan sampel dapat diulang dengan hasil yang sejenis secara rata-rata. Karena ayunannya dapat diukur, seberapa jauh $\bar{x}$ boleh meleset dari $\mu$ dapat dilaporkan, bukan ditebak. Kombinasi keacakan dan pengukuran ayunan inilah yang mengubah jalan pintas menjadi metode yang dapat dipertanggungjawabkan.

Pertimbangan praktisnya juga jelas. Mengukur 50 nilai jauh lebih murah daripada mengukur 10000, sehingga penelitian menjadi mungkin dilaksanakan. Harga yang dibayar atas pemotongan itu adalah ketidakpastian, dan ketidakpastian tersebut kini dapat dihitung, misalnya melalui simpangan baku antarsampel sebesar 1.4368 pada simulasi di atas. Dengan demikian, angka sampel yang dilaporkan selalu disertai ukuran risikonya, bukan sebagai angka tunggal tanpa penjelasan. Syarat keacakan sungguh menentukan, karena sampel yang dipilih secara sengaja dapat menyesatkan seberapa besar pun ukurannya.

Kesalahan umum#

• Menganggap $\bar{x}$ sama dengan $\mu$. Penyebabnya, statistik yang berayun sering dibaca sebagai nilai pasti. Perbaikannya, laporkan $\bar{x}$ bersama ukuran ayunannya dan ingat bahwa sampel lain akan menghasilkan angka yang berbeda.
• Mengira parameter ikut berganti ketika sampel berganti. Parameter melekat pada populasi yang tetap, sedangkan yang berubah hanyalah statistiknya. Perbaikannya, gunakan notasi yang tepat, yaitu $\mu$ untuk populasi dan $\bar{x}$ untuk sampel.
• Memakai statistik sampel untuk menilai populasi lain. Nilai ujian satu sekolah tidak otomatis menggambarkan sekolah lain karena populasinya berbeda. Perbaikannya, tetapkan populasi sasaran lebih dahulu, lalu tarik sampel dari populasi yang sama.

Ringkasan#

• Populasi adalah seluruh objek sasaran analisis, sedangkan sampel adalah bagian dari populasi yang benar-benar diukur.
• Parameter $\mu$, $\sigma^2$, dan $\sigma$ melekat pada populasi dan tetap, sedangkan statistik $\bar{x}$, $s^2$, dan $s$ dihitung dari sampel dan berayun antarsampel.
• Simulasi 100 sampel berukuran 50 menunjukkan $\bar{x}$ bergerak antara 71.4414 dan 78.9455 di sekitar $\mu = 74.8975$, dengan simpangan baku antarsampel 1.4368.
• Sampel menjadi jalan pintas yang sah karena pemilihannya acak dan ayunan statistiknya dapat diukur serta dilaporkan.

Referensi#

• NumPy Generator — NumPy — Referensi resmi pembangkit acak yang dipakai untuk membentuk populasi simulasi dan menarik sampel.
• OpenIntro Statistics — OpenIntro — Buku terbuka yang membahas populasi, sampel, dan hubungan parameter dengan statistik pada bab inferensinya.