Type I dan Type II Errors

Setiap keputusan pengujian bisa salah, dan yang menarik: salahnya bisa terjadi pada dua arah yang berbeda dunia. Menolak H0 yang sebenarnya benar adalah satu jenis kesalahan; gagal menolak H0 yang sebenarnya salah adalah jenis yang sama sekali lain. Chapter ini menyusun kedua galat itu dalam satu matriks keputusan 2×2, mengisi sel-selnya dengan konsekuensi nyata pada dua konteks profesional, mendefinisikan power sebagai peluang pengujian menangkap efek yang sungguh ada, lalu menghitung β secara penuh dengan angka pada kasus sekolah versi σ-diketahui.

Matriks Keputusan 2×2 #

Keputusan pengujian hanya punya dua isi — tolak H0 atau gagal menolak — dan kenyataan juga hanya punya dua isi — H0 benar atau H0 salah. Kombinasinya membentuk empat sel, dua di antaranya adalah keputusan yang tepat dan dua lainnya galat:

Dua baris tabel itu adalah keputusan yang kita ambil; dua kolomnya adalah keadaan yang tidak kita ketahui — itulah sebabnya pengujian selalu berisiko, karena keputusan harus diambil tanpa pernah tahu kolom mana yang sedang terjadi. Galat Tipe I sudah berkelindan sejak chapter Significance Level: peluangnya dikendalikan oleh α karena α memang ditetapkan sebagai ambang risiko galat ini. Galat Tipe II bergerak lebih diam: peluangnya β, dan tidak ada satu angka tetap untuk mengendalikannya — nilai β bergantung pada seberapa jauh kenyataan menyimpang dari H0 dan seberapa banyak data yang kita pegang.

Konsekuensi Nyata: Diagnosis Medis dan Quality Control #

Matriks menjadi hidup ketika sel-selnya diisi konsekuensi. Dua konteks klasik berikut memakai H0 = “tidak ada masalah” (tes negatif / proses normal):

Tabel ini memperlihatkan mengapa pertanyaan “galat mana yang lebih berbahaya?” tidak punya jawaban tunggal — jawabannya bergantung pada baris mana yang lebih murah diperbaiki. Tes penyaring menoleransi Tipe I yang besar karena konsekuensinya cukup ditangani tes konfirmasi; quality control bisa memilih sebaliknya bila penarikan produk jauh lebih mahal daripada satu jam kalibrasi. Analogi pengadilan dari chapter pertama muncul lagi di sini: sistem peradaban memilih melindungi terdakwa (Tipe I diketatkan) karena kesalahan menghukum yang tidak bersalah dianggap paling mahal; mesin penyaring spam kadang dibalik perlindungannya.

Power: Peluang Menangkap Efek yang Nyata #

Power didefinisikan sebagai:

power = 1 - β = P(tolak H0 | H0 salah)

Power adalah peluang pengujian menolak H0 ketika memang seharusnya ditolak — kemampuan mendeteksi efek yang sungguh ada. Konsep ini penting justru sebelum data dikumpulkan: peneliti merancang ukuran sampel agar power mencukupi (konvensi umum 0.80) untuk besar efek yang dianggap penting. Pengujian ber-power rendah membuang seluruh biaya pengumpulan data: efek nyata ada di depan mata, tetapi peluang menangkapnya kecil, dan hasil “gagal tolak” yang dilaporkan kebanyakan mencerminkan kelemahan alat, bukan ketiadaan efek.

Ketiga faktor berikut menaikkan power — dan ketiganya sudah akrab dari perjalanan course ini:

• Ukuran sampel n lebih besar. Standard error mengecil sebanding 1/√n (chapter Standard Error), statistik uji untuk efek yang sama menjadi lebih besar, daerah tolak lebih mudah dicapai. Faktor 1/√n inilah yang membuat power naik lambat: mengecilkan SE menjadi setengahnya menuntut n empat kali lipat.
• Efek sesungguhnya lebih besar. Semakin jauh rata-rata sesungguhnya dari klaim H0, semakin jauh pula distribusi sampel bergeser dari distribusi di bawah H0, dan semakin kecil wilayah tumpang tindih keduanya.
• Varians populasi lebih kecil. Sebaran yang lebih rapat mempersempit fluktuasi sampling (SE = σ/√n mengecil), sehingga sinyal efek lebih mudah dibedakan dari derau.

Pertukaran Alpha dan Beta #

Alpha dan beta ditarik pada tali yang sama dari ujung berlawanan: dengan ukuran sampel tetap, menurunkan α menaikkan β. Mekanismenya terlihat langsung pada daerah kritis — mengetatkan α menggeser batas tolak menjauh dari pusat distribusi H0, sehingga daerah tolak menyusut. Di saat yang sama, wilayah tempat rata-rata sampel “lolos” tanpa ditolak membesar, dan pengujian menjadi lebih mudah melewatkan efek yang nyata (β naik). Kebalikannya berlaku untuk melonggarkan α.

Satu-satunya cara memperbaiki keduanya sekaligus adalah menambah informasi: memperbesar n (atau menurunkan varians pengukuran) memperkecil standard error, menggeser distribusi-distribusi sampel saling menjauh, dan menguatkan daya pisah antara H0 yang benar dan H0 yang salah. Keputusan desain yang matang karenanya tidak pernah berhenti pada α = 0.05; ia melanjutkan dengan bertanya “dengan besar efek yang ditargetkan, berapa n agar power mencapai 0.80?” — pertanyaan yang dibedah penuh pada chapter Menentukan Ukuran Sampel.

Contoh Numerik: Menghitung Beta Secara Penuh #

Mari hitung β dengan angka sungguhan. Untuk contoh ini kita pakai versi kasus sekolah yang σ-nya diketahui, agar perhitungan memakai z dan bisa digambar penuh: σ = 8, n = 64, H0: μ = 80, α = 0.05 dua arah. Pertanyaannya: bila rata-rata sesungguhnya 82.5, berapa peluang pengujian gagal menolak H0?

Langkah pertama — tetapkan daerah gagal tolak di bawah H0. Standard error SE = 8/√64 = 1, dan batas kritis z = ±1.96 memberi:

batas tolak : x̄ < 80 - 1.96(1) = 78.04   atau   x̄ > 80 + 1.96(1) = 81.96
daerah gagal tolak : 78.04 ≤ x̄ ≤ 81.96

Langkah kedua — pindahkan kacamata ke dunia μ = 82.5. Di sana rata-rata sampel menyebar normal dengan pusat 82.5 dan SE yang sama 1, dan galat Tipe II terjadi bila x̄ jatuh masih di dalam daerah gagal tolak:

z-lo = (78.04 - 82.5) / 1 = -4.46
z-hi = (81.96 - 82.5) / 1 = -0.54

beta = P(-4.46 ≤ Z ≤ -0.54) = 0.2946      (dibulatkan ke empat desimal)

Kira-kira 29.5% sampel dari populasi μ = 82.5 akan menghasilkan rata-rata yang masih dianggap “wajar” oleh pengujian kita — itulah β. Power-nya 1 − β = 0.7054: hampir 30% peluang efek sebesar 2.5 poin lolos tak terdeteksi, meski efek itu cukup berarti di konteks nilai sekolah. Menggandakan data menjadi n = 144 dan n = 256 memperlihatkan penuh kerja faktor 1/√n:

from scipy.stats import norm

sigma, mu0, alpha = 8, 80, 0.05
se = sigma / 64**0.5
z_kritis = norm.ppf(1 - alpha / 2)
bawah, atas = mu0 - z_kritis * se, mu0 + z_kritis * se
print(f"daerah gagal tolak H0 : [{bawah:.2f}, {atas:.2f}]")

mu_benar = 82.5
beta = norm.cdf((atas - mu_benar) / se) - norm.cdf((bawah - mu_benar) / se)
print(f"beta  = {beta:.4f}")
print(f"power = {1 - beta:.4f}")

for n in (144, 256):
    se_n = sigma / n**0.5
    beta_n = norm.cdf((atas - mu_benar) / se_n) - norm.cdf((bawah - mu_benar) / se_n)
    print(f"n = {n:3d} : beta = {beta_n:.4f}, power = {1 - beta_n:.4f}")

Output yang Dihasilkan:

daerah gagal tolak H0 : [78.04, 81.96]
beta  = 0.2946
power = 0.7054
n = 144 : beta = 0.2090, power = 0.7910
n = 256 : beta = 0.1401, power = 0.8599

Mari kita bedah blok tersebut: baris z_kritis = norm.ppf(1 - alpha / 2) mengambil kuantil 0.975 dari normal baku (1.96) untuk α dua arah, lalu batas daerah gagal tolak dihitung pada satuan rata-rata sampel. Fungsi norm.cdf menghitung luas di bawah kurva pada dunia μ = 82.5, dikurangkan antara dua batas z sehingga menghasilkan β. Empat baris terakhir menaikkan n menjadi 144 dan 256 dengan SE baru per n — power melonjak dari 0.7054 ke 0.7910 lalu 0.8599, persis prediksi faktor 1/√n: n menjadi 4 kali lipat (64 → 256), SE mengecil setengah (1 → 0.5), dan batas atas daerah gagal tolak bergeser jauh dari 82.5.

Matriks keputusan, α, β, dan power kini lengkap sebagai peta risiko kerangka pengujian. Seluruh mesin konseptual siap dioperasikan pada data sungguhan, dan chapter berikutnya menyalakannya dari uji paling dasar: membandingkan rata-rata sampel terhadap satu nilai klaim dengan z-test dan t-test, termasuk versi dua sampel dan berpasangan yang menutup spektrum pertanyaan tentang mean. Rujukan pendalaman untuk power dan perencanaan sampel: Penn State STAT 500 dan OpenIntro Statistics .