Parameter dan Statistik Sampel

Populasi dan sampel masing-masing punya angka ringkasan versinya sendiri. Rata-rata seluruh siswa di sebuah provinsi dan rata-rata sampel yang kita wawancarai adalah dua angka berbeda dengan nama berbeda: parameter dan statistik sampel. Memisahkan keduanya bukan soal kosakata semata, karena hampir seluruh pekerjaan statistika inferensial berdiri di atas satu kalimat sederhana: statistik sampel dipakai untuk menaksir parameter. Chapter ini membedah pengertian, lambang, dan hubungan keduanya, ditutup satu contoh hitung lengkap dari lima nilai ulangan.

Parameter: Karakteristik Populasi #

Parameter adalah angka yang merangkum karakteristik populasi. Nilainya tunggal dan tetap untuk satu populasi yang sudah ditetapkan, tetapi hampir selalu tidak diketahui, karena mengukur seluruh anggota populasi tidak praktis — itulah alasan kita mengambil sampel dari awal. Contohnya, rata-rata nilai matematika seluruh siswa SMP di satu provinsi adalah parameter: angkanya pasti ada, tetapi tidak seorang pun mengetahuinya tanpa menghitung seluruh siswa provinsi tersebut.

Konvensi penulisan memakai huruf Yunani untuk parameter. Rata-rata populasi dilambangkan μ (dibaca “mu”), simpangan baku populasi dilambangkan σ (dibaca “sigma”), dan proporsi populasi dilambangkan p. Seandainya sensus pendidikan benar-benar dijalankan, hasil hitungannya adalah nilai μ yang selama ini dicari. Selama sensus tidak dilakukan, μ berstatus nilai yang ditaksir, bukan nilai yang diukur langsung.

Statistik Sampel #

Statistik sampel adalah angka yang merangkum karakteristik sampel. Nilainya kita ketahui pasti karena dihitung dari data yang benar-benar terkumpul, dan nilainya berubah setiap kali sampel diambil ulang dari populasi yang sama. Rata-rata nilai lima siswa yang diwawancarai hari ini dan rata-rata lima siswa lain yang diwawancarai minggu depan hampir pasti berbeda, meski keduanya berasal dari satu sekolah.

Konvensi penulisan memakai huruf Latin untuk statistik sampel. Rata-rata sampel dilambangkan x̄ (dibaca “x-bar” atau cukup “rata-rata sampel”), simpangan baku sampel dilambangkan s, dan proporsi sampel dilambangkan p̂ (dibaca “p-topi”). Tabel berikut merangkum pasangan lengkapnya:

Statistik Dipakai untuk Menaksir Parameter #

Hubungan keduanya adalah hubungan penaksir dan yang ditaksir. Karena parameter tidak diketahui, kita menghitung statistik dari sampel lalu memakainya sebagai perkiraan nilai parameter. Dalam bahasa statistika, x̄ adalah penaksir bagi μ, s adalah penaksir bagi σ, dan p̂ adalah penaksir bagi p. Kualitas taksiran — seberapa dekat statistik mendekati parameter secara rata-rata — dinilai lewat sifat bias dan variansi yang akan dibahas pada Section Sampling dan Estimasi.

x̄ menaksir μ
s  menaksir σ
p̂ menaksir p

Rumus rata-rata sampel yang menjadi penaksir μ ditulis sebagai berikut, dengan x1 sampai xn menyatakan nilai data dan n menyatakan ukuran sampel:

x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n = Σx / n

Contoh Numerik: Lima Nilai Ulangan #

Mari kita hitung lengkap dari data kecil. Seorang guru mengambil sampel lima nilai ulangan siswa: 62, 75, 75, 88, dan 90. Perhitungan manualnya berjalan tiga langkah:

data: 62, 75, 75, 88, 90
n = 5
Σx = 62 + 75 + 75 + 88 + 90 = 390
x̄ = 390 / 5 = 78
median = 75 (nilai tengah setelah data diurutkan)

Simpangan baku sampel s dihitung dari simpangan tiap data terhadap x̄:

simpangan tiap data: 62-78 = -16, 75-78 = -3, 75-78 = -3, 88-78 = 10, 90-78 = 12
kuadrat simpangan : 256, 9, 9, 100, 144
jumlah kuadrat     = 256 + 9 + 9 + 100 + 144 = 518
s² = 518 / (n - 1) = 518 / 4 = 129.5
s  = √129.5 ≈ 11.3798 (dibulatkan ke empat desimal)

Pembagi n - 1 dipakai karena kita menghitung versi sampel; alasan di baliknya akan dibahas tuntas pada Section Statistika Deskriptif. Seluruh hasil di atas bisa dicocokkan dengan module statistics bawaan Python:

import statistics

nilai = [62, 75, 75, 88, 90]

print(statistics.mean(nilai))
print(statistics.median(nilai))
print(round(statistics.stdev(nilai), 4))

Output yang Dihasilkan:

78
75
11.3798

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 1 (import statistics): memuat module statistics dari standard library Python, tanpa dependensi tambahan.
2. Baris 3 (nilai = [...]): menyimpan lima nilai ulangan sebagai list — data yang sama dengan perhitungan manual sebelumnya.
3. Baris 5 (statistics.mean(...)): menghitung rata-rata sampel x̄, hasilnya 78, sama dengan 390 dibagi 5.
4. Baris 6 (statistics.median(...)): mengambil nilai tengah setelah data diurutkan, hasilnya 75.
5. Baris 7 (statistics.stdev(...)): menghitung simpangan baku sampel s dengan pembagi n - 1, lalu round(..., 4) membulatkannya ke empat desimal menjadi 11.3798 — persis hasil manual √129.5.

Angka-angka dari list lima nilai ini adalah statistik sampel: x̄ = 78 dan s = 11.3798. Rata-rata nilai seluruh siswa yang diwakilinya tetap menjadi μ yang tidak kita ketahui. Rincian function module ini bisa ditelusuri pada dokumentasi statistics Python .

Sampling Error Secara Intuitif #

Mengapa statistik sampel tidak bisa disamakan begitu saja dengan parameter? Karena sampel hanyalah bagian dari populasi, statistik yang dihitung darinya hampir pasti berbeda dari parameter. Seandainya guru mengambil sampel kelima siswa yang lain dengan nilai 70, 74, 80, 85, dan 92, rata-ratanya menjadi 401 dibagi 5 sama dengan 80.2 — berbeda dari x̄ = 78 pada sampel pertama, padahal keduanya berasal dari populasi sekolah yang sama.

Selisih antara statistik sampel dan parameter populasi disebut sampling error (galat pengambilan sampel):

sampling error = statistik sampel - parameter populasi

contoh: bila μ = 79 dan sampel menghasilkan x̄ = 78, maka sampling error = 78 - 79 = -1

Meski bernama error, sampling error bukan kesalahan hitung atau kelalaian pengumpul data. Sampling error adalah variasi alami yang melekat pada proses pengambilan sampel: sampel berbeda menghasilkan statistik berbeda. Tugas statistika inferensial adalah mengukur besarnya variasi ini dan melaporkannya secara jujur, misalnya lewat rentang taksiran yang sudah kita lihat pada chapter Statistika Deskriptif dan Inferensial.

Dengan parameter, statistik sampel, dan sampling error di tangan, kosakata dasar statistika kita sudah lengkap. Pertanyaan berikutnya: di mana saja kosakata ini benar-benar dipakai? Chapter penutup section ini memetakan penerapan statistika di pendidikan, bisnis, kesehatan, pemerintahan, teknologi, dan keuangan, sekaligus menutup dengan peta jalan belajar course ini.