Interval Kredibel

Satu kurva posterior memuat informasi lengkap, tetapi laporan analisis biasanya menuntut ringkasan yang mudah dibaca. Topik ini membahas interval kredibel (credible interval), yaitu rentang yang mengurung sebagian besar luas posterior, beserta perbandingannya dengan interval kepercayaan (confidence interval) pada data yang sama. Perhitungan memakai kembali data 17 jawaban benar dari 20 soal, dan bagian akhir menegaskan perbedaan makna di balik angka 95 persen pada kedua jenis interval.

Interval persentil dari posterior#

Posterior menyatakan seluruh keyakinan atas parameter $\theta$ setelah data diperhitungkan, dan cara paling lazim untuk meringkasnya adalah menahan 95 persen luas di bagian tengah kurva. Rentang antara kuantil 0.025 dan kuantil 0.975 posterior dinamakan interval kredibel, karena ia menghimpun nilai-nilai parameter yang paling dipercaya oleh posterior. Sisa 5 persen luas terbagi sama besar ke kedua ekor, sehingga definisinya berbunyi

Persamaan itu dapat dibaca apa adanya pada kerangka Bayesian, yaitu peluang parameter berada di dalam rentang setelah data $y$ diperhitungkan. Angka 95 persen sendiri merupakan pilihan kebiasaan yang sama seperti pada interval kepercayaan, dan taraf lain seperti 90 atau 99 persen dipakai dengan menggeser kedua kuantilnya. Pada kisi, kedua kuantil dibaca dari CDF posterior, yaitu luas kumulatif kurva yang telah dinormalisasi, dengan interpolasi linear di antara dua titik kisi terdekat.

Praktik pelaporan yang baik menempatkan interval di samping estimasi titik, misalnya rerata posterior 0.8182 dengan interval kredibel 95 persen 0.6366 sampai 0.9455. Pasangan angka itu menyatakan kesimpulan dan ketidakpastiannya sekaligus, sehingga pembaca laporan tidak menarik kesimpulan berlebihan dari satu bilangan tunggal. Estimasi titik tanpa interval mudah terbaca sebagai kepastian, padahal data 20 soal masih menyisakan ruang kemungkinan yang lebar.

Perhitungan pada kisi#

Program berikut menghitung posterior grid untuk data 17 benar dari 20, membaca kuantil 0.025 dan 0.975 dari CDF kisi, lalu menghitung interval kepercayaan Wald yang memakai rumus $\bar{x} \pm 1.96 \cdot \mathrm{SE}$ pada data yang sama. Gambar yang dihasilkan mengarsir area 95 persen di bawah posterior dan menandai kedua batas Wald sebagai garis putus-putus.

import numpy as np
from scipy import stats
import matplotlib.pyplot as plt

# Data yang sama dengan topik cara berpikir Bayesian: 17 benar dari 20 soal
y, n = 17, 20

# Posterior pada kisi seribu titik
theta = np.linspace(0.0, 1.0, 1000)
posterior = stats.binom.pmf(y, n, theta)
posterior /= np.trapezoid(posterior, theta)

# Kuantil 2.5% dan 97.5% dibaca dari CDF posterior pada kisi
cdf = np.concatenate(([0.0], np.cumsum((posterior[1:] + posterior[:-1]) / 2 * np.diff(theta))))
kdb_bawah = np.interp(0.025, cdf, theta)
kdb_atas = np.interp(0.975, cdf, theta)

# Interval kepercayaan Wald pada data yang sama: xbar +- 1.96 kali standard error
phat = y / n
se = np.sqrt(phat * (1 - phat) / n)
wald_bawah = phat - 1.96 * se
wald_atas = phat + 1.96 * se

print(f"Estimasi titik y/n               = {phat:.4f}")
print(f"Interval kredibel 95% (grid)     = [{kdb_bawah:.4f}, {kdb_atas:.4f}]")
print(f"Interval kepercayaan 95% (Wald)  = [{wald_bawah:.4f}, {wald_atas:.4f}]")

# Gambar posterior dengan area 95% tengah diarsir dan batas Wald ditandai
fig, ax = plt.subplots(figsize=(7, 4), constrained_layout=True)
ax.plot(theta, posterior, color="#4c72b0", linewidth=2, label="Posterior")
tengah = (theta >= kdb_bawah) & (theta <= kdb_atas)
ax.fill_between(theta[tengah], posterior[tengah], color="#4c72b0", alpha=0.25, label="Area 95% kredibel")
ax.axvline(wald_bawah, color="#dd8452", linestyle="--", linewidth=2, label="Batas interval kepercayaan Wald")
ax.axvline(wald_atas, color="#dd8452", linestyle="--", linewidth=2)
ax.annotate(
    "Batas atas Wald 1.0065\nmelewati nilai maksimum theta",
    xy=(wald_atas, 1.2), xytext=(0.895, 3.1),
    arrowprops=dict(arrowstyle="->", color="#555555"),
    fontsize=9,
)
ax.set_xlim(0.45, 1.06)
ax.set_xlabel("Nilai theta (proporsi benar)")
ax.set_ylabel("Densitas")
ax.set_title("Interval kredibel dan interval kepercayaan Wald pada data 17 dari 20")
ax.legend(loc="upper left")
fig.savefig("interval-kredibel.png", dpi=110)

Estimasi titik y/n               = 0.8500
Interval kredibel 95% (grid)     = [0.6366, 0.9455]
Interval kepercayaan 95% (Wald)  = [0.6935, 1.0065]

Interval kredibel hasil kisi adalah 0.6366 sampai 0.9455, dan angka itu identik dengan kuantil eksak distribusi Beta(18, 4) yang diperoleh stats.beta.ppf. Interval kepercayaan Wald untuk data yang sama berbunyi 0.6935 sampai 1.0065, dan batas atasnya melewati 1, nilai yang mustahil untuk sebuah proporsi. Kejanggalan itu lahir dari aproksimasi kurva normal pada sampel kecil, yaitu aproksimasi yang tidak memperhitungkan batas 0 dan 1 pada parameter proporsi.

Letak kedua interval juga tidak sama. Interval kredibel tidak simetris terhadap modus 0.85, karena posterior menceng dengan ekor kiri yang lebih panjang, sehingga jarak dari modus ke batas bawah 0.2134 melebihi jarak ke batas atas 0.0955. Wald selalu simetris terhadap estimasi titik, sifat yang praktis tetapi tidak mengikuti bentuk sebenarnya dari ketidakpastian posterior.

Lebar interval kredibel bergerak mengikuti dua faktor yang sama seperti pada setiap estimasi proporsi. Data yang bertambah menyempitkannya karena likelihood makin menajam, sedangkan prior yang lebih datar dan lebih tersebar cenderung melebarkannya pada area tanpa data. Dengan data 20 soal, lebar 0.3089 merupakan kejujuran yang wajar, dan menuntut interval yang lebih sempit tanpa menambah data berarti menurunkan taraf keyakinannya.

Dua makna yang tidak saling menggantikan#

Kalimat “peluang $\theta$ berada di antara 0.6366 dan 0.9455 adalah 0.95” sah dalam kerangka Bayesian karena $\theta$ diperlakukan sebagai besaran acak yang distribusinya diperbarui oleh data. Pernyataan semacam itu membuat interval kredibel langsung menjawab pertanyaan pembuat keputusan, misalnya peluang laju kelulusan komponen berada di atas ambang tertentu. Sebaliknya, angka 95 persen pada interval kepercayaan melekat pada prosedurnya, yaitu persentase keberhasilan apabila interval serupa dibangun berulang-ulang dari banyak sampel.

Kerangka frequentist menolak pembagian peluang pada parameter tunggal, karena parameternya berstatus konstanta yang tidak berubah, hanya saja tidak diketahui. Kedua pembacaan itu konsisten di dalam kerangkanya masing-masing, dan kesalahan terjadi ketika interpretasi milik satu kerangka dipindahkan begitu saja ke kerangka lainnya. Harga aproksimasi Wald pada sampel kecil sudah terlihat pada batas atas yang keluar dari rentang parameter, sedangkan interval kredibel yang dibangun dari posterior tidak pernah keluar dari 0 dan 1.

Ringkasan#

• Interval kredibel 95 persen mengurung nilai parameter antara kuantil 0.025 dan 0.975 posterior, dengan peluang 0.95 di dalam rentang menurut kerangka Bayesian.
• Pada data 17 dari 20 soal, interval kredibel kisi menghasilkan 0.6366 sampai 0.9455 dan cocok persis dengan kuantil eksak Beta(18, 4).
• Interval kepercayaan Wald untuk data yang sama adalah 0.6935 sampai 1.0065, dengan batas atas yang melewati 1 karena aproksimasi normal pada sampel kecil.
• Kedua interval menjawab pertanyaan yang berbeda, yaitu peluang parameter menurut posterior versus keandalan prosedur dalam jangka panjang.

Referensi#

• scipy.stats.beta — SciPy — Dokumentasi distribusi Beta yang menyediakan fungsi ppf untuk memverifikasi kuantil posterior.
• OpenIntro Statistics — OpenIntro — Buku pengantar statistika yang membahas konstruksi dan makna interval kepercayaan.