Rata-rata dan simpangan baku menyatakan pusat serta lebar data, tetapi keduanya tidak menyatakan bagaimana nilai-nilai itu tersebar di sekitar pusatnya. Topik ini membahas pembacaan bentuk distribusi melalui histogram, yaitu kemencengan (skewness) dan modusitas (modality) sebagai jumlah puncaknya. Kaitan bentuk dengan ukuran pemusatan diuraikan pula, karena posisi rata-rata terhadap median memberi petunjuk arah kemencengan. Empat himpunan nilai ujian yang dibangun melalui simulasi menjadi bahan contoh sehingga setiap bentuk dapat dibandingkan berdampingan.
Histogram sebagai potret bentuk#
Histogram membagi rentang data ke dalam beberapa sel berlebar sama, lalu menghitung banyaknya pengamatan pada setiap sel. Tinggi batang menyatakan frekuensi, sehingga puncak, lebar, dan ekor distribusi terbaca dalam sekali pandang. Histogram menjawab pertanyaan yang tidak terjawab oleh ringkasan numerik, yaitu bagaimana pengamatan tersebar dan apakah nilai berkumpul pada satu wilayah saja.
Histogram juga menyingkap hal yang tidak tampak pada ringkasan numerik, misalnya celah yang memisahkan dua kelompok nilai atau batang tunggal yang terpisah jauh sebagai indikasi pencilan. Pemeriksaan visual seperti ini menjadi langkah pertama sebelum ringkasan numerik dilaporkan. Ringkasan yang dibaca tanpa mengetahui bentuknya berisiko disalahartikan karena bentuk yang berbeda memberi makna yang berbeda pada rata-rata yang sama.
Beberapa hal yang diperiksa saat membaca histogram adalah jumlah puncaknya, arah ekornya, adanya celah antarkelompok nilai, dan keberadaan batang yang terpisah jauh dari kumpulan. Jumlah puncak disebut modusitas, dan histogram dengan satu puncak disebut unimodal (unimodal) sedangkan yang memiliki dua puncak disebut bimodal (bimodal). Pemeriksaan ini dilakukan sebelum menyusun ringkasan numerik karena bentuk yang berbeda menuntut pembacaan ringkasan yang berbeda pula.
Empat bentuk yang sering muncul#
Empat bentuk yang paling sering ditemui pada data nyata adalah simetris, menceng kanan, menceng kiri, dan bimodal. Distribusi menceng kanan (right-skewed) memiliki ekor yang memanjang ke arah nilai besar, misalnya waktu tunggu yang umumnya singkat tetapi sesekali sangat lama. Distribusi menceng kiri (left-skewed) berkebalikannya, misalnya nilai ujian pada soal yang mudah sehingga banyak nilai tinggi disertai sedikit nilai rendah. Distribusi bimodal pada nilai ujian biasanya menandakan campuran dua kelompok kemampuan yang berbeda.
Program berikut membangun keempat bentuk tersebut melalui simulasi nilai ujian, mencetak rata-rata dan median setiap himpunan, lalu menggambarkan keempat histogramnya dalam satu gambar. Bagian data menceng dibangun dari bentuk eksponensial (exponential) yang menjadi model lazim bagi waktu tunggu. Data bimodalnya dibangun dengan menggabungkan dua himpunan berdistribusi normal, masing-masing 200 pengamatan di sekitar 55 dan 85, sehingga dua puncaknya muncul dari dua kelompok yang benar-benar berbeda. Perhatikan selisih rata-rata terhadap median pada setiap bentuk karena hubungan itulah yang dibahas pada bagian berikutnya.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
rng = np.random.default_rng(42)
# Empat bentuk distribusi pada data nilai ujian (0 sampai 100)
simetris = np.clip(np.round(rng.normal(75, 8, size=400)), 0, 100)
menceng_kanan = np.clip(np.round(30 + rng.exponential(8, size=400)), 0, 100)
menceng_kiri = np.clip(np.round(95 - rng.exponential(8, size=400)), 0, 100)
bimodal = np.concatenate([rng.normal(55, 3.5, size=200), rng.normal(85, 3.5, size=200)])
judul = ["Simetris", "Menceng kanan", "Menceng kiri", "Bimodal"]
data = [simetris, menceng_kanan, menceng_kiri, bimodal]
for nama, d in zip(judul, data):
print(f"{nama:13s}: rata-rata = {d.mean():8.4f}, median = {np.median(d):8.4f}")
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(7, 4.8), constrained_layout=True)
for ax, nama, d in zip(axes.flat, judul, data):
ax.hist(d, bins=25, color="#4c72b0", edgecolor="white")
ax.set_title(nama)
for ax in axes[1]:
ax.set_xlabel("Nilai ujian")
for ax in axes[:, 0]:
ax.set_ylabel("Frekuensi")
fig.savefig("histogram-bentuk.png", dpi=110)Simetris : rata-rata = 74.9625, median = 75.0000
Menceng kanan: rata-rata = 38.3650, median = 35.0000
Menceng kiri : rata-rata = 87.1650, median = 89.5000
Bimodal : rata-rata = 69.8209, median = 69.5715
Bentuk simetris memperlihatkan rata-rata dan median yang hampir sama, yaitu 74.9625 berbanding 75.0000. Bentuk menceng kanan menempatkan rata-rata di atas median, sedangkan bentuk menceng kiri menempatkannya di bawah median, sesuai tarikan ekor pada masing-masing bentuk. Bentuk bimodal justru menunjukkan rata-rata dan median yang berdekatan meskipun bentuknya tidak simetris, karena dua kelompok nilainya saling menyeimbangkan.
Hubungan mean, median, dan kemencengan#
Pada distribusi unimodal, arah kemencengan berjalan seiring dengan posisi rata-rata terhadap median. Ekor yang memanjang ke kanan menarik rata-rata melewati median, sehingga rata-rata lebih besar dari median pada kemencengan kanan. Sebaliknya, rata-rata lebih kecil dari median pada kemencengan kiri. Ketika keduanya hampir sama, distribusi cenderung simetris. Sebabnya terletak pada cara keduanya dihitung. Rata-rata memperhitungkan setiap nilai secara penuh, sehingga sekelompok kecil nilai di ekor tetap menggesernya, sedangkan median hanya membaca posisi.
Pola tersebut adalah petunjuk awal, bukan hukum yang berlaku mutlak. Contoh bimodal pada bagian sebelumnya memiliki rata-rata dan median yang berdekatan padahal bentuknya tidak simetris, karena dua puncaknya saling menyeimbangkan. Kesimpulan tentang bentuk karenanya selalu diperiksa langsung pada histogram, dan selisih rata-rata terhadap median hanya dipakai sebagai indikasi pertama.
Kesalahan umum#
Kesalahan pertama adalah menyimpulkan bentuk hanya dari rata-rata dan median tanpa melihat histogramnya. Selisih kedua ukuran yang kecil tidak menjamin simetris, sebagaimana ditunjukkan contoh bimodal yang rata-rata dan mediannya berdekatan. Kesalahan kedua adalah membaca bentuk dari sampel yang terlalu kecil, karena histogram dari belasan pengamatan mudah berubah wujud ketika satu pengamatan bertambah. Kesalahan ketiga adalah membandingkan dua histogram dengan jumlah sel yang berbeda-beda, sehingga perbedaan bentuk yang tampak sebenarnya berasal dari pilihan sel, bukan dari datanya. Gunakan jumlah sel yang sama ketika dua himpunan data dibandingkan secara visual.
Ringkasan#
- Histogram menampilkan frekuensi per sel sehingga puncak, ekor, dan celah distribusi terbaca secara langsung.
- Kemencengan kanan berarti ekor ke nilai besar dan rata-rata lebih besar dari median, sedangkan kemencengan kiri berkebalikannya.
- Histogram bimodal menandakan campuran dua kelompok dan membuat petunjuk rata-rata terhadap median tidak berlaku.
- Jumlah sel histogram memengaruhi bentuk yang terlihat, sehingga beberapa pilihan perlu dicoba sebelum menyimpulkan.
Referensi#
- matplotlib.pyplot.hist — Matplotlib — Dokumentasi fungsi histogram Matplotlib yang digunakan pada contoh, termasuk argumen bins.
- OpenIntro Statistics — OpenIntro — Buku pengantar statistika yang membahas bentuk distribusi dan hubungannya dengan ukuran pemusatan.