Aturan Penghitungan

Peluang klasik menghitung banyaknya hasil yang menguntungkan lalu membaginya dengan banyaknya seluruh hasil yang mungkin, sehingga ketepatan jawaban bergantung pada ketepatan penghitungan. Topik ini membahas aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi beserta contoh susunan piket serta pemilihan panitia kelas. Fungsi bawaan math.perm dan math.comb pada Python dipakai agar hitungan tetap benar pada angka yang besar.

Aturan perkalian#

Proses berlapis dihitung dengan mengalikan banyaknya pilihan pada setiap lapisan. Susunan piket dua hari yang disusun dari 20 siswa tanpa orang yang sama berjumlah $20 \times 19 = 380$ susunan karena 20 pilihan hari pertama menyisakan 19 pilihan hari keduanya. Untuk $k$ lapisan dengan banyaknya pilihan $m_1, m_2, \dots, m_k$, total pasangan hasilnya adalah $m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$.

Prinsip ini sah selama setiap pilihan pada satu lapisan menyisakan banyaknya pilihan yang sama pada lapisan berikutnya. Apabila syarat itu gugur, misalnya dua siswa tertentu tidak boleh piket berurutan, faktor pengalinya perlu disesuaikan per kasus. Pemeriksaan kecil pada struktur pilihan mencegah penghitungan yang terlalu besar.

Aturan yang sama menghitung ukuran ruang sampel bagi percobaan berulang. Sepuluh lemparan koin menghasilkan $2^{10} = 1024$ rangkaian hasil karena setiap lemparan menyisakan dua pilihan. Ukuran ruang sampel semacam ini menjadi penyebut peluang pada percobaan yang seluruh hasilnya sama mungkin.

Permutasi#

Permutasi menghitung banyaknya susunan berurutan $r$ objek yang diambil dari $n$ objek berbeda. Contohnya pengisian tiga posisi kepengurusan, yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara, dari 10 calon, yang setiap urutannya dihitung berbeda. Banyaknya susunan dinyatakan

Pengisian tiga posisi dari 10 calon menghasilkan $10 \times 9 \times 8 = 720$ susunan, sama dengan $P(10, 3)$. Contoh piket pada bagian sebelumnya juga permutasi, yaitu $P(20, 2) = 380$. Aturan perkalian pada hakikatnya sedang bekerja di dalam rumus permutasi.

Kombinasi#

Kombinasi menghitung pemilihan $r$ objek dari $n$ objek tanpa mempedulikan urutan. Setiap kelompok tanpa urutan tercatat $r!$ kali di dalam permutasi karena anggotanya dapat disusun sebanyak itu. Pembagian berikut mengembalikan kelompok yang unik. Simbol $\binom{n}{r}$ dibaca n pilih r:

Pemilihan panitia tiga orang dari 10 siswa menghasilkan $\binom{10}{3} = 720/6 = 120$ kelompok. Angka 120 jauh lebih kecil daripada 720 karena urutan tidak lagi membedakan hasil. Setiap kelompok berisi orang yang sama persis kini terhitung satu kali.

Sifat simetri $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ memberi pemeriksaan tambahan. Memilih 3 dari 10 sama banyaknya dengan meninggalkan 7 dari 10, dan $\binom{10}{7}$ memang bernilai 120. Sifat ini berguna saat nilai r lebih dekat ke n karena sisi kanannya lebih kecil dan mudah dihitung.

Dari penghitungan ke peluang#

Apabila seluruh hasil sama mungkin, peluang sebuah kejadian adalah perbandingan banyaknya hasil menguntungkan dengan banyaknya hasil mungkin. Pertanyaannya misalnya peluang Ali dan Budi, dua siswa tertentu, sama-sama terpilih dalam panitia tiga orang dari 10 siswa. Apabila Ali dan Budi masuk, kursi yang tersisa hanya satu dan diisi dari 8 siswa lain, sehingga hasil menguntungkan berjumlah $\binom{8}{1} = 8$ dari total $\binom{10}{3} = 120$.

Peluang teoretisnya menjadi $8/120 = 1/15 \approx 0.0667$. Skrip berikut merangkum seluruh hitungan topik ini, kemudian mensimulasikan 100000 pemilihan panitia acak dengan bibit 42 untuk memeriksa angka tersebut. Setiap simulasi mengundi panitia dengan mengacak urutan 10 siswa lalu mengambil tiga orang pertamanya.

import math
import numpy as np

# Aturan perkalian: urutan piket dua hari dari 20 siswa
print(f"Urutan piket 2 dari 20 siswa : {math.perm(20, 2)}")

# Permutasi: tiga posisi kepengurusan dari 10 calon
print(f"Permutasi 3 dari 10          : {math.perm(10, 3)}")

# Kombinasi: panitia 3 orang dari 10 siswa
print(f"Kombinasi 3 dari 10          : {math.comb(10, 3)}")
print(f"perm(10, 3) / 3!             : {math.perm(10, 3) / math.factorial(3):.0f}")

# Peluang dua siswa tertentu sama-sama terpilih dalam panitia 3 dari 10
p_teoretis = math.comb(8, 1) / math.comb(10, 3)
print(f"P(dua siswa tertentu) teoretis = {p_teoretis:.4f}")

# Verifikasi dengan simulasi pemilihan panitia acak
rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000
acak = rng.random((n, 10))
panitia = np.argsort(acak, axis=1)[:, :3]
berdua = np.isin(panitia, [0, 1]).sum(axis=1) == 2
print(f"P(dua siswa tertentu) simulasi = {berdua.mean():.4f}")

Urutan piket 2 dari 20 siswa : 380
Permutasi 3 dari 10          : 720
Kombinasi 3 dari 10          : 120
perm(10, 3) / 3!             : 120
P(dua siswa tertentu) teoretis = 0.0667
P(dua siswa tertentu) simulasi = 0.0670

Frekuensi simulasi 0.0670 menempel pada nilai teoretis 0.0667, dan selisihnya wajar untuk 100000 undian. Baris perm(10, 3) / 3! memperlihatkan hubungan $720 = 120 \times 6$ langsung dari keluaran. Rantai penghitungan menuju peluang berjalan lengkap pada satu skrip kecil.

Kombinasi menjadi bahan utama peluang binomial, yaitu peluang memperoleh tepat $k$ keberhasilan dalam $n$ percobaan dengan peluang keberhasilan yang tetap. Rumusnya memuat faktor $\binom{n}{k}$ untuk memilih posisi keberhasilan, dikalikan dengan peluang tiap pola. Penghitungan pada topik ini dengan demikian bukan sekadar latihan aritmetika, melainkan mesin pembentuk banyak rumus peluang lanjutan.

Kesalahan umum#

Dua kekeliruan berikut paling sering mengubah hasil penghitungan secara besar. Keduanya menghasilkan angka yang tetap terlihat wajar, sehingga pemeriksaan arah dan alat hitung menjadi penting. Uji cepat pada akhir bagian ini merangkum keduanya.

• Menukar permutasi dengan kombinasi. Jabatan yang berbeda membuat urutan penting sehingga yang tepat adalah permutasi, sedangkan panitia tanpa jabatan memakai kombinasi. Nilai permutasi selalu $r!$ kali nilai kombinasinya, sehingga 720 dan 120 mudah tertukar.
• Menghitung faktorial secara manual. Nilai $20!$ sudah melampaui $2 \times 10^{18}$ dan perkaliannya mudah salah saat ditulis tangan. Fungsi math.perm dan math.comb menghilangkan langkah rawan itu.

Uji cepat untuk kekeliruan pertama adalah bertanya apakah menukar dua objek menghasilkan susunan yang berbeda. Apabila jawabannya ya, permutasinyalah yang tepat, sedangkan apabila tidak, kombinasilah yang tepat. Uji untuk kekeliruan kedua lebih sederhana, yaitu membiasakan fungsi bawaan menggantikan perkalian manual.

Ringkasan#

• Aturan perkalian mengalikan banyaknya pilihan tiap lapisan, permutasi menyusun dengan urutan, dan kombinasi memilih tanpa urutan.
• Hubungan $\binom{n}{r} = P(n, r)/r!$ memisahkan kelompok unik dari susunan berurutan, contohnya 720 permutasi menyusut menjadi 120 kombinasi.
• Peluang klasik membagi hasil menguntungkan dengan hasil mungkin, contohnya $8/120 \approx 0.0667$ untuk dua siswa tertentu masuk panitia tiga dari 10.
• Kombinasi menjadi penyusun faktor utama rumus peluang binomial.

Referensi#

• math — Fungsi matematika — Python — Halaman resmi math.perm dan math.comb yang dipakai pada seluruh hitungan topik ini.
• OpenIntro Statistics — OpenIntro — Bab probabilitas memakai aturan penghitungan sebagai fondasi rumus peluangnya.