Kebebasan Kejadian

Dua kejadian dapat saling terkait atau sama sekali tidak, dan perbedaannya menentukan rumus mana yang sah dipakai. Topik ini mendefinisikan kejadian independen (independent events) melalui hubungan hasil kali $P(A \cap B) = P(A) P(B)$, memverifikasinya pada dua koin yang memang bebas, lalu menunjukkan kegagalannya pada pengambilan kartu tanpa pengembalian. Pemahaman ini menjadi dasar asumsi kebebasan yang mendasari banyak prosedur pengujian statistika.

Makna kebebasan dua kejadian#

Kejadian $A$ bebas terhadap $B$ apabila informasi bahwa $B$ terjadi tidak mengubah peluang $A$, yaitu $P(A \mid B) = P(A)$. Dengan mensubstitusikan definisi peluang bersyarat, syarat yang setara diperoleh dalam bentuk hasil kali. Bentuk hasil kali inilah yang paling sering dipakai karena tidak memerlukan perhitungan bersyarat sama sekali:

Hubungan tersebut simetris, sehingga $A$ bebas terhadap $B$ berarti $B$ juga bebas terhadap $A$. Dua koin seimbang yang dilempar bersamaan adalah contoh yang bebas karena hasil koin pertama tidak mungkin mengubah hasil koin kedua, dan $P(\text{keduanya gambar}) = 0.5 \times 0.5 = 0.25$. Kebebasan adalah sifat mekanisme penghasil data, bukan kesimpulan dari satu kali percobaan yang kebetulan cocok dengan rumus.

Hukum hasil kali meluas ke lebih dari dua kejadian. Tiga kejadian yang saling bebas memenuhi $P(A \cap B \cap C) = P(A) P(B) P(C)$, sebagaimana lemparan tiga koin yang peluang ketiganya gambar adalah $(1/2)^3 = 0.125$. Perluasan ini dipakai luas pada pemodelan percobaan berulang yang tahapannya bebas.

Memverifikasi kebebasan pada dua koin#

Skrip berikut melempar dua koin seimbang 100000 kali dengan bibit acak 42. Empat angka diperiksa, yaitu frekuensi tiap koin menghasilkan gambar, frekuensi keduanya gambar, dan hasil kali dua frekuensi tepi. Apabila kebebasan berlaku, frekuensi gabungan dan hasil kali tepi akan menempel pada 0.25.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000

# Dua koin seimbang dilempar bersamaan, 1 = gambar dan 0 = angka
koin1 = rng.integers(0, 2, size=n)
koin2 = rng.integers(0, 2, size=n)
A = koin1 == 1
B = koin2 == 1

print(f"P(A)        frekuensi = {A.mean():.4f}   teoretis = 0.5000")
print(f"P(B)        frekuensi = {B.mean():.4f}   teoretis = 0.5000")
print(f"P(A dan B)  frekuensi = {(A & B).mean():.4f}   teoretis = 0.2500")
print(f"P(A) * P(B) frekuensi = {A.mean() * B.mean():.4f}   teoretis = 0.2500")

P(A)        frekuensi = 0.5009   teoretis = 0.5000
P(B)        frekuensi = 0.5016   teoretis = 0.5000
P(A dan B)  frekuensi = 0.2494   teoretis = 0.2500
P(A) * P(B) frekuensi = 0.2512   teoretis = 0.2500

Frekuensi gabungan 0.2494 dan hasil kali tepi 0.2512 sama-sama dekat dengan 0.25. Selisih kecil di antara keduanya berasal dari fluktuasi acak biasa, bukan dari ketergantungan antarkoin. Pola pencocokan inilah ciri dua kejadian yang bebas pada data frekuensi.

Ketika kebebasan tidak terpenuhi#

Pengambilan dua kartu dari dek 52 tanpa pengembalian merusak kebebasan karena komposisi dek berubah setelah kartu pertama keluar. Apabila kartu pertama adalah as, tersisa 3 as dari 51 kartu, sehingga $P(\text{kedua as} \mid \text{pertama as}) = 3/51 \approx 0.0588$. Nilai itu lebih kecil daripada $P(\text{pertama as}) = 4/52 \approx 0.0769$, dan selisihnya adalah bukti ketergantungan.

Sebaliknya, apabila kartu pertama dikembalikan dan dek diacak ulang, komposisinya kembali utuh dan kebebasan terjaga. Pada skema tanpa pengembalian, peluang gabungan dua as teoretisnya adalah $(4/52) \times (3/51) \approx 0.0045$. Apabila keliru memakai asumsi bebas, hasil kali tepi $(4/52)^2 \approx 0.0059$ meleset sekitar 31 persen secara relatif.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000

# Setiap baris mengacak urutan 52 kartu, lalu dua kartu pertama diambil.
# Pengacakan urutan otomatis menerapkan pengambilan tanpa pengembalian.
acak = rng.random((n, 52))
kartu = np.argsort(acak, axis=1)[:, :2]
as0 = kartu[:, 0] < 4        # kartu bernomor 0 sampai 3 adalah as
as1 = kartu[:, 1] < 4

print(f"P(kartu pertama as)    frekuensi = {as0.mean():.4f}   teoretis = {(4/52):.4f}")
print(f"P(kedua as|pertama as) frekuensi = {as1[as0].mean():.4f}   teoretis = {(3/51):.4f}")
print(f"P(keduanya as)         frekuensi = {(as0 & as1).mean():.4f}")
print(f"Teoretis tanpa pengembalian (4/52)*(3/51) = {(4/52)*(3/51):.4f}")
print(f"Teoretis bila dianggap bebas (4/52)^2     = {(4/52)**2:.4f}")

P(kartu pertama as)    frekuensi = 0.0768   teoretis = 0.0769
P(kedua as|pertama as) frekuensi = 0.0607   teoretis = 0.0588
P(keduanya as)         frekuensi = 0.0047
Teoretis tanpa pengembalian (4/52)*(3/51) = 0.0045
Teoretis bila dianggap bebas (4/52)^2     = 0.0059

Frekuensi kartu pertama as bernilai 0.0768 dan menempel pada 4/52. Frekuensi bersyarat 0.0607 diperhitungkan dari sekitar 7680 kasus kartu pertama as, sehingga penyimpangannya dari 3/51 masih wajar untuk jumlah kasus itu. Frekuensi gabungan 0.0047 jauh lebih dekat dengan 0.0045 daripada dengan 0.0059, sesuai dugaan tanpa pengembalian.

Kebebasan sebagai asumsi pengujian statistika#

Banyak prosedur inferensi, termasuk interval kepercayaan dan pengujian beda rata-rata, mengasumsikan pengamatan satu sama lain bebas. Asumsi itu menyederhanakan perhitungan ketidakpastian karena variasi dapat dijumlahkan dari sumber yang bebas. Apabila pengamatan saling bergantung, variasi efektifnya menyusut sehingga ketidakpastian sering diremehkan.

Ketergantungan lazim muncul pada pengukuran berulang dari alat atau subjek yang sama serta pada data deret waktu. Cara paling aman menjaga kebebasan pengamatan adalah merancang pengambilan data yang mengacak, misalnya pensampelan dengan pengembalian pada populasi yang besar. Apabila ketergantungan tidak dapat dihindari, metode yang dipakai perlu menyesuaikan strukturnya secara eksplisit.

Kesalahan umum#

Dua kekeliruan konsep menempel pada topik ini dan keduanya berawal dari pencampuran istilah. Pembeda yang andal ada pada rumus, bukan pada kesan kata. Pemeriksaan frekuensi gabungan terhadap hasil kali tepi menjadi alat yang sama untuk keduanya.

• Menukar saling lepas dengan bebas. Dua kejadian saling lepas (mutually exclusive) yang sama-sama berpeluang positif justru bergantung karena terjadinya salah satu memaksa yang lain tidak terjadi, sehingga $P(A \cap B) = 0$ sedangkan $P(A)P(B) > 0$. Pemeriksaan hasil kali memisahkan keduanya dengan tegas.
• Menerapkan rumus hasil kali pada data berurutan tanpa pemeriksaan. Pengukuran dari alat yang sama atau data waktu yang berdekatan sering bergantung. Perbaikannya adalah memeriksa cara data dikumpulkan sebelum asumsi kebebasan dipakai.

Saling lepas berbicara tentang irisan yang kosong, sedangkan bebas berbicara tentang hasil kali tepi yang cocok. Pengujian cepatnya sama, yaitu membandingkan frekuensi gabungan dengan hasil kali frekuensi tepinya. Kebiasaan itu menjaga kedua istilah tetap pada tempatnya.

Ringkasan#

• Kejadian independen memenuhi $P(A \cap B) = P(A) P(B)$, yang setara dengan $P(A \mid B) = P(A)$.
• Dua koin bebas menghasilkan frekuensi gabungan 0.2494 yang menempel pada hasil kali tepi 0.25.
• Pengambilan tanpa pengembalian merusak kebebasan, dan simulasi kartu memberi frekuensi gabungan 0.0047 yang selaras dengan 0.0045, bukan dengan 0.0059 dari asumsi bebas.
• Asumsi kebebasan pengamatan mendasari banyak prosedur inferensi sehingga perlu dibenarkan dari cara data dikumpulkan.

Referensi#

• OpenIntro Statistics — OpenIntro — Bagian probabilitas membahas kebebasan kejadian dan pembedanya dengan kejadian saling lepas.
• numpy.random.Generator — NumPy — Dokumentasi pembangkit angka acak NumPy yang dipakai pada simulasi koin dan kartu.