Aturan Dasar Peluang

Peluang adalah ukuran kuantitatif untuk ketidakpastian, mulai dari lemparan koin hingga keputusan berbasis data. Topik ini membahas ruang sampel, operasi gabungan, irisan, dan komplemen pada kejadian, serta sifat aditif peluang beserta jebakan yang menyertainya. Setiap aturan diverifikasi menggunakan simulasi dadu berbantuan NumPy sehingga kecocokan antara nilai teoretis dan frekuensi relatif dapat diamati langsung.

Ruang sampel dan kejadian#

Penghitungan peluang selalu dimulai dari ruang sampel (sample space), yaitu himpunan seluruh hasil yang mungkin dari sebuah percobaan acak. Percobaan melempar satu dadu seimbang memiliki ruang sampel $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Sebuah kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel, misalnya kejadian $A$ hasil genap yang berisi $\{2, 4, 6\}$. Peluang kejadian ditulis $P(A)$ dan nilainya selalu berada pada rentang 0 sampai 1. Nilai 0 menandakan kejadian mustahil, nilai 1 menandakan kejadian pasti, sedangkan nilai 0.5 berarti separuh percobaan diharapkan menghasilkan kejadian tersebut.

Makna angka-angka tersebut paling mudah diperiksa melalui frekuensi relatif (relative frequency), yaitu perbandingan banyaknya kemunculan kejadian dengan banyaknya percobaan. Apabila dadu yang sama dilempar berulang-ulang, frekuensi relatif hasil genap mendekati 0.5 seiring bertambahnya jumlah lemparan. Kestabilan inilah yang menjadikan simulasi alat verifikasi utama dalam statistika terapan.

Operasi gabungan, irisan, dan komplemen#

Kejadian dikombinasikan dengan operasi himpunan karena kejadian memang berbentuk himpunan. Gabungan $A \cup B$ menyatakan $A$ terjadi atau $B$ terjadi, irisan $A \cap B$ menyatakan keduanya terjadi bersamaan, sedangkan komplemen (complement) $A^c$ menyatakan $A$ tidak terjadi. Diagram berikut memperlihatkan ketiga operasi tersebut pada dua kejadian di dalam satu ruang sampel.

Pada dadu, misalkan $A$ adalah hasil genap dan $B$ adalah hasil 5 atau 6. Irisan kedua kejadian hanyalah $\{6\}$, sedangkan gabungannya $\{2, 4, 5, 6\}$ yang berisi empat hasil. Peluang komplemen mengikuti aturan sederhana karena peluang seluruh hasil pada ruang sampel berjumlah 1:

Dengan demikian $P(A^c) = 0.5$ untuk kejadian genap karena $P(A) = 3/6$. Untuk kejadian $B$ berlaku $P(B) = 2/6$, sehingga $P(B^c) = 4/6$. Aturan komplemen menghemat pekerjaan karena peluang kejadian tidak terjadi tidak pernah dihitung dengan mendaftar ulang seluruh hasilnya.

Memverifikasi aturan dengan simulasi dadu#

Skrip berikut melempar satu dadu seimbang 100000 kali menggunakan pembangkit angka acak NumPy dengan bibit (seed) tetap agar hasilnya dapat direproduksi. Empat kejadian dihitung sekaligus, yaitu $A$, $B$, irisannya, dan gabungannya, lalu setiap frekuensi relatif ditempatkan di samping nilai teoretisnya. Nilai teoretis dihitung dari definisi kejadian pada bagian sebelumnya, termasuk sifat aditif untuk gabungan.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)

# Melempar satu dadu seimbang sebanyak 100000 kali
n = 100_000
lemparan = rng.integers(1, 7, size=n)

A = lemparan % 2 == 0        # kejadian A: hasil genap
B = lemparan >= 5            # kejadian B: hasil 5 atau 6

# Peluang teoretis
p_a, p_b, p_ab = 1 / 2, 1 / 3, 1 / 6
p_atau = p_a + p_b - p_ab    # sifat aditif umum

print(f"P(A)        frekuensi = {A.mean():.4f}   teoretis = {p_a:.4f}")
print(f"P(B)        frekuensi = {B.mean():.4f}   teoretis = {p_b:.4f}")
print(f"P(A dan B)  frekuensi = {(A & B).mean():.4f}   teoretis = {p_ab:.4f}")
print(f"P(A atau B) frekuensi = {(A | B).mean():.4f}   teoretis = {p_atau:.4f}")
print(f"P(bukan A)  frekuensi = {(~A).mean():.4f}   teoretis = {1 - p_a:.4f}")

P(A)        frekuensi = 0.4996   teoretis = 0.5000
P(B)        frekuensi = 0.3340   teoretis = 0.3333
P(A dan B)  frekuensi = 0.1659   teoretis = 0.1667
P(A atau B) frekuensi = 0.6677   teoretis = 0.6667
P(bukan A)  frekuensi = 0.5004   teoretis = 0.5000

Setiap frekuensi relatif berjarak kurang dari 0.002 dari nilai teoretisnya. Selisih sekecil ini wajar pada 100000 percobaan dan akan mengecil bila jumlah lemparan ditambah. Baris P(A atau B) sekaligus memeriksa sifat aditif karena frekuensi gabungan dihitung langsung dari data, bukan dari penjumlahan rumus.

Proses mendekatinya frekuensi relatif ke peluang lebih mudah diamati sebagai kurva. Potongan kode berikut menghitung frekuensi relatif gabungan pada ukuran sampel yang bertambah bertingkat, menggambarkannya bersama garis nilai teoretis $2/3$, lalu menyimpannya sebagai konvergensi-frekuensi.png. Pendekatan acak semacam ini dikenal sebagai simulasi Monte Carlo karena mengandalkan pengulangan percobaan, bukan penilaian rumus.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000
lemparan = rng.integers(1, 7, size=n)
sasar = (lemparan % 2 == 0) | (lemparan >= 5)   # kejadian A atau B

ukuran = np.unique(np.geomspace(10, n, 25).astype(int))
frek = np.array([sasar[:m].mean() for m in ukuran])

plt.figure(figsize=(7, 4), constrained_layout=True)
plt.plot(ukuran, frek, marker="o", markersize=3, label="Frekuensi relatif")
plt.axhline(2 / 3, color="tab:red", linestyle="--", label="Peluang teoretis 2/3")
plt.xscale("log")
plt.xlabel("Jumlah lemparan")
plt.ylabel("Frekuensi relatif P(A atau B)")
plt.title("Konvergensi frekuensi relatif ke peluang")
plt.legend()
plt.savefig("konvergensi-frekuensi.png", dpi=110)

for m, f in zip(ukuran[[0, 8, 16, 24]], frek[[0, 8, 16, 24]]):
    print(f"n = {m:6d}   frekuensi relatif = {f:.4f}")

n =     10   frekuensi relatif = 0.5000
n =    215   frekuensi relatif = 0.6372
n =   4641   frekuensi relatif = 0.6613
n = 100000   frekuensi relatif = 0.6677

Kurva bergerak liar pada sampel kecil dan mereda mendekati garis putus-putus pada sampel besar. Nilai 0.5 pada sepuluh lemparan pertama bukan anomali karena kebetulan semacam itu lazim pada awal percobaan. Pada 100000 lemparan, frekuensi relatif 0.6677 hanya berjarak 0.0010 dari $2/3$.

Sifat aditif dan jebakan mengabaikan irisan#

Dua kejadian disebut saling lepas (mutually exclusive) apabila keduanya tidak mungkin terjadi bersamaan, sehingga irisannya kosong. Pada kasus tersebut peluang gabungan cukup dijumlahkan, misalnya hasil 1 dan hasil 2 pada satu lemparan dadu yang peluang gabungannya $1/6 + 1/6 = 1/3$. Bentuk umumnya mengurangi irisan agar kejadian yang beririsan tidak terhitung dua kali:

Pada contoh dadu, $0.5 + 1/3 - 1/6 = 2/3$, persis nilai teoretis yang dipadankan frekuensi 0.6677 pada simulasi. Apabila irisan dilupakan, penjumlahannya menjadi $0.5 + 1/3 = 5/6$, lebih besar $1/6$ dari nilai yang benar. Kelebihan itu persis sebesar peluang hasil 6 yang terhitung dua kali karena hasil 6 termasuk genap sekaligus termasuk 5 atau 6.

Aturan aditif menjadi fondasi bagi perhitungan yang melibatkan banyak kejadian sekaligus, misalnya peluang minimal satu kegagalan pada sistem paralel. Kebiasaan yang sehat adalah menuliskan kejadian dalam notasi himpunan terlebih dahulu, baru menentukan irisannya. Dua langkah kecil itu mencegah kesalahan penjumlahan yang angkanya tampak masuk akal.

Kesalahan umum#

Kesalahan pada topik ini umumnya berbentuk aritmetika yang melanggar definisi, bukan kegagalan kode. Dua pola berikut muncul paling sering saat sifat aditif diterapkan. Keduanya menghasilkan angka yang tampak wajar sehingga sulit ditangkap sekilas.

• Menjumlahkan peluang kejadian yang beririsan. Kesalahan ini muncul karena frasa A atau B terdengar seperti undangan menjumlahkan. Perbaikannya adalah menuliskan irisan terlebih dahulu, lalu menerapkan $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Mengasumsikan semua hasil sama mungkin tanpa pemeriksaan. Simulasi dadu di atas sah karena dadunya seimbang, sedangkan dadu cacat atau dek yang tidak teracak sempurna menggeser peluang per hasil. Perbaikannya adalah memeriksa asumsi keseimbangan atau mengestimasi peluang langsung dari frekuensi data.

Kedua pola tersebut dapat dideteksi dengan kebiasaan verifikasi yang sama, yaitu memadankan hasil rumus dengan frekuensi relatif simulasi. Selisih yang konsisten menandakan ada aturan yang diterapkan keliru. Selisih kecil yang acak menandakan perhitungan berada di jalurnya.

Ringkasan#

• Peluang berada pada rentang 0 sampai 1 dan pada banyak percobaan dipadankan oleh frekuensi relatifnya.
• Komplemen memenuhi $P(A^c) = 1 - P(A)$, sehingga peluang kejadian tidak terjadi dihitung tanpa mendaftar ulang hasil.
• Sifat aditif $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ menyederhana menjadi penjumlahan langsung apabila kejadian saling lepas.
• Simulasi 100000 lemparan dadu menghasilkan frekuensi gabungan 0.6677 yang selaras dengan nilai teoretis $2/3$.

Referensi#

• OpenIntro Statistics — OpenIntro — Bab probabilitas membahas ruang sampel, operasi kejadian, dan aturan aditif dengan contoh serupa.
• NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods — NIST — Pegangan resmi NIST memuat ringkasan aturan peluang dasar beserta notasinya.
• numpy.random.Generator — NumPy — Dokumentasi pembangkit angka acak NumPy yang dipakai pada seluruh simulasi dadu di atas.