Estimasi Titik

Statistik sampel sebagai estimasi parameter dan sifat estimator yang baik.

Daftar isi

Satu bilangan ringkasan dari sampel jarang tepat sama dengan nilai populasi yang ditaksirnya, sehingga kualitas bilangan tersebut perlu dinilai dengan kaidah yang jelas. Topik ini membahas estimasi titik (point estimate), yaitu statistik sampel tunggal yang digunakan sebagai taksiran parameter populasi, beserta tiga sifat estimator yang baik, yaitu tidak bias, konsisten, dan efisien. Simulasi pada bagian akhir memperlihatkan perilaku yang sering mengejutkan, yakni satu estimasi hampir selalu meleset, sedangkan rata-rata dari seratus ribu estimasi menyentuh parameter sejati.

Parameter, statistik, dan estimasi titik#

Parameter adalah bilangan ringkasan yang mendeskripsikan populasi secara lengkap, sedangkan statistik adalah bilangan sejenis yang dihitung dari data sampel. Estimasi titik menggunakan statistik sampel sebagai taksiran terbaik untuk parameter yang nilainya tidak diketahui. Rata-rata sampel menjadi estimasi titik untuk rata-rata populasi $\mu$ , sedangkan simpangan baku sampel menjadi estimasi titik untuk simpangan baku populasi $\sigma$ . Pasangan lambangnya dirangkum pada tabel berikut.

Besaran	Parameter populasi	Statistik sampel
Rata-rata	$\mu$	$\bar{x}$
Variansi	$\sigma^2$	$s^2$
Simpangan baku	$\sigma$	$s$
Proporsi	$p$	$\hat{p}$

Kata titik menegaskan bahwa hasilnya satu nilai tunggal pada garis bilangan, berbeda dengan rentang nilai yang diberikan interval kepercayaan (confidence interval). Lambangnya juga berpindah dari huruf Yunani ke huruf Latin karena sumber nilainya berpindah dari populasi ke sampel. Estimasi titik untuk rata-rata populasi dihitung dengan rumus berikut.

\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i

Diagram berikut merangkum arah penalarannya, yaitu dari parameter populasi yang tidak diketahui menuju statistik sampel yang dapat dihitung.

Arah estimasi titik: statistik sampel menaksir parameter populasi

Panah pada diagram hanya mengarah satu jalan. Populasi seluruhnya hampir tidak pernah tersedia, sehingga parameter tidak pernah dihitung langsung. Seluruh penalaran inferensia bergerak dari statistik yang tersedia menuju parameter yang ingin diketahui, tidak pernah sebaliknya.

Tiga sifat estimator yang baik#

Estimator adalah aturan perhitungan yang menghasilkan estimasi titik, misalnya rumus rata-rata sampel atau rumus median sampel, sedangkan estimasi adalah nilai hasil perhitungannya pada satu data tertentu. Kualitas sebuah estimator dinilai sebelum data diambil dengan memeriksa perilakunya pada seluruh sampel yang mungkin. Tiga sifat yang lazim dipersyaratkan adalah tidak bias, konsisten, dan efisien.

Sebuah estimator dinamakan estimator tidak bias (unbiased estimator) apabila rata-rata dari seluruh nilai yang mungkin dihasilkannya sama persis dengan parameter yang ditaksir. Sifat itu berarti penaksirnya tidak condong terlalu besar atau terlalu kecil apabila pengulangannya cukup banyak. Rata-rata sampel memenuhi syarat itu secara persis, begitu pula variansi sampel dengan pembagi $n-1$ , sebagaimana dinyatakan persamaan berikut.

\operatorname{E}[\bar{x}] = \mu \qquad\qquad \operatorname{E}[s^2] = \sigma^2

Konsistensi menyatakan perilaku estimator ketika sampel terus diperbesar. Estimator yang konsisten menghasilkan nilai yang makin dekat ke parameter ketika $n$ membesar, sehingga kemungkinan estimasinya menyimpang jauh makin mengecil. Efisiensi membandingkan sebaran antara dua estimator yang sama-sama tidak bias. Untuk populasi normal, rata-rata sampel lebih efisien daripada median sampel karena sebarannya lebih kecil pada ukuran sampel yang sama, sehingga hasilnya lebih stabil dari sampel ke sampel.

Simulasi: satu estimasi meleset, rata-ratanya menyentuh#

Sifat tidak bias tidak berarti satu estimasi menyentuh parameter, karena keacakan sampel membuat estimasi tunggal selalu menyimpang. Perilaku estimator baru tampak ketika penarikan sampel diulang berkali-kali pada populasi yang sama. Program berikut memodelkan populasi tinggi tanaman dengan $\mu = 170$ cm dan $\sigma = 8$ cm, kemudian menarik seratus ribu sampel yang masing-masing berisi tiga puluh pengamatan. Setiap sampel menghasilkan satu pasang estimasi $\bar{x}$ dan $s$ , lalu keduanya dirata-ratakan untuk menguji sifat tidak bias.

python estimasi-titik.py

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)

# Populasi: tinggi tanaman (cm) dimodelkan normal dengan mu = 170 dan sigma = 8
mu, sigma = 170.0, 8.0
n = 30
banyak_sampel = 100000

# Setiap baris matriks adalah satu sampel, dan seluruh sampel dihitung sekaligus
# agar simulasi seratus ribu pengulangan tetap cepat
sampel = rng.normal(mu, sigma, size=(banyak_sampel, n))
est_xbar = sampel.mean(axis=1)
est_s = sampel.std(axis=1, ddof=1)

print(f"Estimasi pertama                   : xbar = {est_xbar[0]:.4f}, s = {est_s[0]:.4f}")
print(f"Rata-rata 100000 estimasi xbar     : {est_xbar.mean():.4f}   (mu sejati = 170.0)")
print(f"Rata-rata 100000 estimasi s        : {est_s.mean():.4f}   (sigma sejati = 8.0)")
print(f"Rata-rata besar selisih |xbar - mu|: {np.abs(est_xbar - mu).mean():.4f}")
print(f"Banyak estimasi tepat sama dengan mu: {np.sum(est_xbar == mu)}")

text Keluaran

Estimasi pertama                   : xbar = 170.1345, s = 6.2140
Rata-rata 100000 estimasi xbar     : 170.0054   (mu sejati = 170.0)
Rata-rata 100000 estimasi s        : 7.9312   (sigma sejati = 8.0)
Rata-rata besar selisih |xbar - mu|: 1.1613
Banyak estimasi tepat sama dengan mu: 0

Keluaran memperlihatkan pola yang khas. Estimasi pertama meleset sekitar 0.13 cm dari $\mu$ , rata-rata besar selisih setiap estimasi mencapai 1.1613 cm, dan tidak satu pun dari seratus ribu estimasi tepat sama dengan 170. Meskipun demikian, rata-rata seluruh estimasi $\bar{x}$ menyentuh 170.0054, sehingga selisihnya terhadap parameter hanya 0.0054 cm. Rata-rata estimasi $s$ mendekati 8 dengan kecenderungan kecil ke bawah, sesuai teori bahwa $s$ tidak bias hanya secara kira-kira, sedangkan $s^2$ tidak bias secara persis. Ketidaktahuan pada satu sampel dikompensasi oleh kesetiaan rata-rata dalam jangka panjang, dan itulah makna sifat tidak bias.

Kesalahan umum#

Kesalahan pertama adalah menilai kualitas estimator dari satu estimasi saja. Selisih $\bar{x}$ terhadap $\mu$ pada satu sampel merupakan keacakan yang wajar, sedangkan kekeliruan estimator baru terlihat dari rata-rata banyak pengulangan. Perbaikannya adalah mengulang simulasi atau menaikkan ukuran sampel, bukan mengganti estimator setiap kali hasilnya meleset.

Kesalahan kedua adalah menghitung $s$ dengan ddof=0 pada data sampel, sehingga estimasi $\sigma$ cenderung terlalu kecil, dan perbaikannya adalah menetapkan ddof=1 sesuai konvensi sampel. Kesalahan ketiga adalah menyamakan ketidakbiasan dengan presisi. Estimator yang tidak bias belum tentu paling efisien, sehingga pemilihan estimator juga mempertimbangkan lebar sebarannya, bukan hanya titik sasarannya. Perbandingan antarestimator, misalnya rata-rata dengan median, baru berarti apabila keduanya dinilai pada populasi dan ukuran sampel yang sama. Sebagai contoh, estimator yang bias tetapi bersebaran sempit dapat lebih sering dekat ke parameter daripada estimator tidak bias yang bersebaran lebar pada sampel kecil.

Ringkasan#

Estimasi titik adalah satu nilai statistik sampel, misalnya $\bar{x}$ atau $s$ , yang digunakan menaksir parameter populasi.
Estimator yang baik tidak bias, konsisten ketika $n$ membesar, dan efisien dengan sebaran yang kecil.
Simulasi seratus ribu sampel memperlihatkan rata-rata estimasi menyentuh parameter, sementara tidak satu pun estimasi tunggal tepat menyentuhnya.
Variansi sampel memerlukan pembagi $n-1$ , yaitu ddof=1, agar menjadi estimator tidak bias.

Referensi#

numpy.mean — NumPy — Dokumentasi perhitungan rata-rata yang menjadi dasar estimasi titik.
numpy.std — NumPy — Dokumentasi simpangan baku NumPy beserta makna argumen ddof.
OpenIntro Statistics — OpenIntro — Buku pengantar statistika dengan pembahasan estimasi titik dan sifat estimator.