Skewness

Chapter Median menutup dengan sebuah janji: aturan gambaran “mean di atas median berarti data miring ke kanan” akan dibedah dengan ukurannya sendiri pada Section Distribusi Data. Ukuran itu bernama skewness — satu angka yang merangkum arah sekaligus derajat kemiringan distribusi. Bentuk distribusi yang baru saja kita kenali sebagai gambar kini mendapat skala pengukur. Chapter ini membahas cara membaca tanda skewness, menghitungnya dengan rumus momen pangkat tiga pada data pendapatan tujuh pedagang, lalu menutup dengan perkiraan praktis Pearson yang hanya memakai mean, median, dan standar deviasi.

Apa itu Skewness #

Skewness adalah ukuran asimetri distribusi: seberapa tidak seimbang sebaran data di antara dua sisi pusatnya. Nilainya menjawab dua pertanyaan sekaligus — ekor mana yang lebih panjang, dan seberapa jauh ketidakseimbangan itu. Skewness bekerja seperti termometer kemiringan: bentuk yang baru bisa kita ucapkan “seperti miring kanan” kini bisa dinyatakan “miring kanan dengan skewness 1.80”.

Tanda nilai adalah informasi utamanya:

Satu kehati-hatian: skewness mendekati nol hanya berarti kedua ekor berimbang bobotnya, bukan jaminan distribusi simetris sempurna — data bimodal yang cermin, misalnya, juga menghasilkan skewness dekat nol. Skewness tetap layak dibaca bersama sketsa histogram, bukan menggantikannya.

Rumus Momen: Pangkat Tiga yang Menjaga Tanda #

Bentuk paling umum dari skewness adalah momen ketiga yang distandarkan:

skewness = Σ(x - x̄)³ / ((n - 1) · s³)

Mengapa pangkat tiga, bukan kuadrat seperti varians? Karena kuadrat selalu positif — deviasi −20 dan +20 sama-sama menjadi 400 — sehingga tanda arah kemiringan hilang sebelum terjumlah. Pangkat tiga mempertahankan tanda: deviasi negatif tetap negatif, deviasi positif tetap positif. Data yang menjulur ke kanan menghasilkan jumlah kubik positif yang dominan; data yang menjulur ke kiri menghasilkan jumlah kubik negatif; data seimbang menjumlah keduanya hingga saling meniadakan di sekitar nol.

Pembagi (n - 1) · s³ menjalankan dua tugas sekaligus: merata-ratakan sumbangan seluruh data dan menormalkan satuan. Pangkat tiga deviasi membawa satuan pangkat tiga (misalnya “poin³”), dan membaginya dengan s³ — satuan yang sama persis — membuat hasil akhirnya bebas satuan, sehingga skewness pendapatan rupiah bisa dibandingkan langsung dengan skewness nilai ulangan.

Menghitung Skewness Pendapatan Tujuh Pedagang #

Kita hitung pada data yang sama dengan pembuka chapter: pendapatan harian tujuh pedagang pasar (dalam ribuan Rp) — 80, 90, 100, 110, 120, 130, dan 400. Ringkasan pendukungnya dulu:

mean   = 1030 / 7 ≈ 147.14
median = 110
s      ≈ 112.80   (semua dibulatkan ke dua desimal)

Selisih mean dan median yang lebar sudah memperlihatkan kemiringan kanan; sekarang kita ukur. Deviasi tiap pedagang terhadap mean, lalu kubiknya:

Enam deviasi negatif menghasilkan kubik negatif yang totalnya hanya −670223.1, sedangkan satu deviasi positif 252.86 menghasilkan kubik +16167408.1 — sekitar 24 kali lebih besar. Inilah wajah kemiringan kanan di tingkat rumus: satu nilai di ekor menyumbang hampir seluruh jumlah kubik. Melanjutkan ke rumus lengkap:

skewness = Σ(x - x̄)³ / ((n - 1) · s³)
         = 15497185 / (6 × 112.80³)
         = 15497185 / 8611494.9
         ≈ 1.80    (dibulatkan ke dua desimal)

Semua deviasi dan kubik pada tabel dihitung dari angka yang dibulatkan ke dua desimal; perhitungan memakai angka penuh menghasilkan 1.7995 yang tetap membulat ke 1.80 — pembulatan antara tidak mengubah kesimpulan.

Pedoman Kasar Membaca Besaran #

Tanda memberi arah; besaran memberi derajat. Praktisi umum memakai pedoman kasar berikut:

Pendapatan tujuh pedagang dengan skewness 1.80 tergolong ekstrem — wajar, karena satu dari tujuh data menyumbang hampir seluruh kemiringan. Sebagai pembanding, data nilai sembilan siswa kita memiliki skewness ≈ −0.19 (dihitung dengan scipy.stats.skew, dibulatkan ke dua desimal): sedikit miring kiri, konsisten dengan mean 83.33 yang berada sedikit di bawah median 84. Pedoman ini adalah alat bantu, bukan ambang resmi — batas 0.5 dan 1 tidak berpindah otomatis dari satu konteks ke konteks lain; gunakan sebagai titik awal diskusi, bukan pemutus keputusan.

Perkiraan Pearson dari Mean dan Median #

Karl Pearson menawarkan jalan pintas yang hanya memakai statistik yang sudah kita miliki:

skewness ≈ 3 × (mean - median) / s

Rumus ini membaca langsung dari gejala yang kita temui pada chapter Median: jarak mean dari median, dinormalkan oleh standar deviasi. Pada data pendapatan:

skewness ≈ 3 × (147.14 - 110) / 112.80
         = 111.42 / 112.80
         ≈ 0.99    (dibulatkan ke dua desimal)

Angkanya lebih kecil daripada 1.80 dari rumus momen — perkiraan memang hanya perkiraan, kedua rumus tidak dirancang menghasilkan angka identik. Kegunaannya pada praktik: ketika laporan hanya menyajikan mean, median, dan standar deviasi (tanpa data mentah), rumus Pearson tetap memberi gambaran arah dan kasar besarannya. Rumus momen tetap rujukan utama ketika data mentah tersedia.

Menghitung Skewness dengan Python #

Rumus momen bisa ditulis langsung dengan sum dan generator, sementara SciPy menyediakan skew yang teruji luas:

import statistics
from scipy.stats import skew

pendapatan = [80, 90, 100, 110, 120, 130, 400]
nilai = [68, 75, 75, 81, 84, 88, 90, 92, 97]
n = len(pendapatan)
mean = statistics.mean(pendapatan)
s = statistics.stdev(pendapatan)

momen = sum((x - mean) ** 3 for x in pendapatan) / ((n - 1) * s ** 3)
pearson = 3 * (mean - statistics.median(pendapatan)) / s

print(f"momen pendapatan  : {momen:.2f}")
print(f"scipy pendapatan  : {skew(pendapatan):.3f}")
print(f"pearson pendapatan: {pearson:.2f}")
print(f"scipy nilai kelas : {skew(nilai):.2f}")

Output yang Dihasilkan:

momen pendapatan  : 1.80
scipy pendapatan  : 1.944
pearson pendapatan: 0.99
scipy nilai kelas : -0.19

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 10 (rumus momen): sum((x - mean) ** 3 ...) menghitung Σ(x − x̄)³ persis seperti tabel manual, lalu dibagi (n - 1) * s ** 3 — hasilnya 1.80, sama dengan hitungan tangan.
2. Baris 11 (perkiraan Pearson): 3 * (mean - median) / s memberi 0.99.
3. Baris 14 (scipy): skew(pendapatan) menghasilkan 1.944 — sedikit berbeda dari 1.80 karena normalisasi yang dipakai tidak sama.
4. Baris 16 (nilai kelas): skew(nilai) menghasilkan -0.19, menegaskan data sembilan siswa hampir simetris.

Dampak Skewness pada Analisis #

Skewness bukan sekadar label — nilainya mengubah keputusan analisis. Data dengan kemiringan moderat sampai ekstrem sebaiknya diringkas dengan median dan IQR yang tahan terhadap nilai ekstrem, bukan mean dan standar deviasi yang ikut tertarik ke arah ekor. Analisis yang memakai aturan empiris 68-95-99.7, seperti estimasi kasar pada chapter Standar Deviasi, kehilangan ketepatannya ketika bentuk sudah jauh dari lonceng. Skewness ekstrem juga sering menjadi alasan data ditransformasi sebelum dianalisis lebih lanjut.

Transformasi yang paling sering dipakai untuk data miring kanan adalah logaritma. Ambil pendapatan kita: Rp80.000 dan Rp400.000 terpaut 320 ribu pada skala asli, tetapi pada skala logaritma basis 10 nilainya menjadi 1.90 dan 2.60 — hanya terpaut 0.70. Logaritma menekan nilai besar jauh lebih kuat daripada nilai kecil, sehingga ekor kanan menarik diri mendekati pusat dan skewness menurun. Sifat logaritma ini sudah kita hitung pada chapter Eksponen dan Logaritma di Section Dasar Matematika untuk Statistika; kita akan memakainya lagi ketika memodelkan data nyata di bab-bab aplikasi.

Skewness telah memberi angka pada kemiringan, dan pedoman kasarnya menunjukkan kapan median layak mengambil alih. Namun pertanyaan analisis sering lebih spesifik: seberapa jauh satu nilai tertentu dari pusat kelasnya? Ukuran yang menjawabnya tidak memakai selisih mentah, melainkan selisih dalam satuan standar deviasi — z-score, topik chapter berikutnya.