Teorema Bayes

Sebuah tes penyaring yang “akurat 95 persen” sering diberitakan seolah hampir pasti benar bagi orang yang hasilnya positif. Perhitungan yang benar justru mengejutkan: pada populasi dengan keterjadian penyakit 1 persen, hanya sekitar 8.8 persen pemilik hasil positif yang benar-benar membawa penyakitnya. Ketimpangan ini bukan kelemahan tes, melainkan akibat aritmetika pengondisian yang dibalik: P(positif | sakit) yang dilaporkan produsen tes dan P(sakit | positif) yang dibutuhkan pasien adalah dua pertanyaan berbeda, dan keduanya hanya bisa dijembatani lewat rumus. Rumus pembalikan arah itu adalah teorema Bayes. Chapter ini menurunkannya, menerapkannya pada contoh klinis lengkap dan contoh mutu produksi dua pabrik, lalu menautkannya ke cara berpikir inferensia statistik.

Membalik Arah Pengondisian #

Aturan perkalian bentuk umum memberi dua jalur menuju irisan yang sama: P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) dan P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B). Menyamakan kedua ruas lalu membagi dengan P(B) menghasilkan:

P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B)

Inilah teorema Bayes untuk dua kejadian. Tiga komponennya punya nama: P(A) disebut prior — peluang A sebelum bukti B diketahui; P(A|B) disebut posterior — peluang A setelah bukti B diperhitungkan; dan P(B|A) berperan sebagai kekuatan bukti, yaitu seberapa sering bukti B muncul bila A memang benar. Rumus ini memformalkan aktivitas yang sudah kita lakukan manual sepanjang chapter Probabilitas Bersyarat — menghitung proporsi di dalam kelompok syarat — dengan beda satu langkah: bila P(B) belum tersedia, ia harus dihitung dulu.

Peluang Total sebagai Langkah Penyusun #

Penyebut P(B) umumnya tidak diketahui langsung, tetapi bisa dibangun dengan membagi seluruh kemungkinan menjadi dua keadaan dunia: A terjadi atau A-komplemen terjadi. Peluang B adalah jumlah tertimbang dari kedua keadaan itu:

P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | A^c) × P(A^c)

Rumus ini disebut aturan peluang total. Sebagai contoh bentuk sederhananya, peluang tes penyaring bereaksi positif pada penduduk acak adalah campuran dari dua sumber: hasil positif benar dari kelompok yang memang sakit dan hasil positif palsu dari kelompok sehat. Kita langsung terapkan pada contoh klinis lengkap.

Contoh Klinis: Tes Penyaring Penyakit X #

Angka-angka tes penyaring fiktif berikut dipakai konsisten sampai akhir chapter:

• Prevalensi 1 persen: P(sakit) = 0.01 — peluang orang terpilih acak membawa penyakit X (prior).
• Sensitivitas 95 persen: P(positif | sakit) = 0.95 — tes menandai 95 persen orang yang memang membawa penyakitnya.
• Spesifisitas 90 persen: P(negatif | sehat) = 0.90 — tes benar memberi hasil negatif pada 90 persen orang sehat, sehingga peluang positif palsu P(positif | sehat) = 0.10.

Langkah pertama: peluang total hasil positif pada penduduk acak:

P(positif) = P(positif | sakit) × P(sakit) + P(positif | sehat) × P(sehat)
           = 0.95 × 0.01 + 0.10 × 0.99
           = 0.0095 + 0.0990
           = 0.1085

Langkah kedua: teorema Bayes membalik arahnya:

P(sakit | positif) = P(positif | sakit) × P(sakit) / P(positif)
                   = 0.0095 / 0.1085
                   = 19/217
                   ≈ 0.0876

Hasil posterior 8.76 persen (dibulatkan ke dua desimal) — hanya sekitar satu dari sebelas hasil positif yang benar-benar menandai pembawa penyakit.

Tabel Frekuensi Alami: 10.000 Orang #

Cara paling jernih memahami angka itu adalah mengubah persentase menjadi frekuensi alami pada populasi 10.000 orang. Dari 100 orang yang membawa penyakit, 95 terdeteksi positif dan 5 terlewat sebagai negatif palsu. Dari 9.900 orang sehat, 10 persen di antaranya mendapat hasil positif (990 orang) dan 8.910 benar negatif:

Dari tabel, P(sakit | positif) tinggal membagi margin: 95/1085 = 19/217 ≈ 0.0876 — persis hasil rumus. Seluruh angka tabel bisa diperiksa dua arah: baris sakit berjumlah 95 + 5 = 100, kolom positif berjumlah 95 + 990 = 1.085, dan total keseluruhan tepat 10.000. Frekuensi alami dan rumus Bayes selalu sampai pada angka yang sama karena keduanya menghitung himpunan yang sama; tabel hanya membuat aritmetikanya terlihat.

Base Rate Fallacy #

Mengapa hasil positif selemah itu padahal tes “akurat 95 persen”? Kuncinya pada ukuran kedua kelompok. Kelompok sehat 99 kali lebih besar daripada kelompok sakit, sehingga peluang kecil positif palsu — hanya 10 persen — tetap menghasilkan 990 orang sehat ber-tes positif, sekitar sepuluh kali lipat dibanding 95 orang sakit yang terdeteksi benar. Hasil positif pada populasi ini lebih sering berasal dari kelompok besar yang sehat daripada kelompok kecil yang sakit.

Kekeliruan mengabaikan laju dasar seperti ini disebut base rate fallacy: pembaca memakai P(positif | sakit) = 0.95 untuk menjawab pertanyaan P(sakit | positif) yang penyebutnya jauh lebih besar. Prior yang rendah tidak hilang begitu bukti datang — angka 1 persen memang naik ke 8.76 persen, hampir sembilan kali lipat, tetapi tetap jauh di bawah 50 persen. Karena itu program penyaringan yang baik menautkan hasil tes dengan pemeriksaan lanjutan sebelum keputusan medis diambil.

Contoh Kedua: Mutu Produksi Dua Pabrik #

Teorema Bayes juga bekerja pada penelusuran sumber. Sebuah perakit komponen menerima pasokan dari Pabrik A sebanyak 60 persen dan Pabrik B sebanyak 40 persen. Tingkat cacat Pabrik A 2 persen, Pabrik B 5 persen. Satu komponen terpilih acak terbukti cacat — dari pabrik mana komponen itu kemungkinan besar berasal?

Peluang total komponen cacat: P(cacat) = 0.60 × 0.02 + 0.40 × 0.05 = 0.012 + 0.020 = 0.032. Posterior untuk Pabrik A:

P(Pabrik A | cacat) = 0.012 / 0.032 = 3/8 = 0.375

Frekuensi alami per 1.000 komponen memeriksanya: Pabrik A mengirim 600 unit dan menghasilkan 12 unit cacat; Pabrik B mengirim 400 unit dan menghasilkan 20 unit cacat. Dari 32 unit cacat, 12 berasal dari Pabrik A — 12/32 = 3/8 = 0.375, persis posterior rumus. Pabrik B hanya menyumbang 40 persen volume tetapi menyumbang 20 dari 32 unit cacat (0.625), sehingga audit mutu lebih urgen diarahkan ke Pabrik B meski volumenya lebih kecil.

Langkah Sistematis Menerapkan Bayes #

Kedua contoh di atas mengikuti pola yang sama. Urutannya bisa dijadikan resep kerja:

1. Tentukan kejadian yang dicari posterior-nya (misal A = “sakit”) dan bukti yang teramati (B = “tes positif”).
2. Tulis prior P(A) dan P(A^c) dari data atau asumsi yang tersedia.
3. Tulis likelihood P(B | A) dan P(B | A^c) — kedua arah keadaan dunia.
4. Hitung peluang total P(B) sebagai jumlah tertimbang kedua likelihood.
5. Terapkan rumus Bayes: P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B).
6. Periksa hasil lewat tabel frekuensi alami pada populasi besar (misalnya 10.000) — dua jalur yang sampai pada angka sama menandakan hitungan sehat.

Untuk kasus dengan lebih dari dua keadaan dunia (misalnya lima pabrik), langkah 4 cukup diperpanjang: jumlahkan P(B | Ai) × P(Ai) untuk seluruh keadaan, lalu bagi suku yang relevan — struktur peluang total dan posterior tidak berubah.

Prior dan Posterior: Memperbarui Keyakinan #

Skema prior → bukti → posterior memberi cara membaca teorema Bayes sebagai mesin pembaruan keyakinan. Keyakinan awal (prevalensi 1 persen) diperbarui oleh bukti (hasil positif) menjadi keyakinan baru (8.76 persen) — dan posterior periode ini menjadi prior periode berikutnya bila bukti kedua datang. Seseorang yang dites positif dua kali dengan tes yang sama dan independen akan melihat posterior keduanya jauh lebih tinggi daripada 8.76 persen, karena peluang dua positif palsu beruntun jauh lebih kecil daripada satu positif palsu. Proses berurutan seperti ini — dipakai luas dalam penyaringan bertahap, filter pesan, dan inferensia Bayesian modern — memperlihatkan teorema Bayes bukan satu rumus hitung-sekali, melainkan siklus yang bisa diputar terus.

Menghitung Contoh Klinis dengan Python #

Blok kode berikut menghitung seluruh contoh chapter ini dengan pecahan eksak:

from fractions import Fraction as F

prevalensi = F(1, 100)
sensitivitas = F(95, 100)
spesifisitas = F(90, 100)

p_positif = prevalensi * sensitivitas + (1 - prevalensi) * (1 - spesifisitas)
p_sakit_positif = prevalensi * sensitivitas / p_positif

print(f"P(positif)         = {p_positif} = {float(p_positif):.4f}")
print(f"P(sakit | positif) = {p_sakit_positif} = {float(p_sakit_positif):.4f}")
print(f"per 10000 orang: sakit dan positif = {int(prevalensi * 10000 * sensitivitas)}")
print(f"per 10000 orang: sehat dan positif = {int((1 - prevalensi) * 10000 * (1 - spesifisitas))}")
print(f"hitung ulang tabel: 95/1085 = {F(95, 1085)} = {float(F(95, 1085)):.4f}")

p_a, p_cacat_a = F(60, 100), F(2, 100)
p_b, p_cacat_b = F(40, 100), F(5, 100)
p_cacat = p_a * p_cacat_a + p_b * p_cacat_b
print(f"P(Pabrik A | cacat) = {p_a * p_cacat_a / p_cacat} = {float(p_a * p_cacat_a / p_cacat):.4f}")

Output yang Dihasilkan:

P(positif)         = 217/2000 = 0.1085
P(sakit | positif) = 19/217 = 0.0876
per 10000 orang: sakit dan positif = 95
per 10000 orang: sehat dan positif = 990
hitung ulang tabel: 95/1085 = 19/217 = 0.0876
P(Pabrik A | cacat) = 3/8 = 0.3750

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3-5: seluruh parameter dimuat sebagai Fraction — 1 persen, 95 persen, 90 persen — sehingga tidak ada pembulatan hilang di tengah jalan.
2. Baris 7-8: peluang total dihitung lengkap dengan komplemen (1 − prevalensi) × (1 − spesifisitas) = 0.99 × 0.10, lalu posterior dibagi eksak menghasilkan 19/217.
3. Baris 12-13: angka tabel frekuensi alami direproduksi dari pecahan — 95 dan 990 persis isi tabel 10.000 orang, dan int mengonversi pecahan utuh menjadi bilangan bulat.
4. Baris 16-19: contoh dua pabrik dihitung dengan pola yang sama; posterior Pabrik A 3/8 tersederhanakan otomatis.

Bayes dan Inferensia Statistik #

Skema prior → bukti → posterior adalah kerangka utama aliran inferensia Bayesian, tetapi pola pikirnya juga menerangi pengujian hipotesis bergaya frekuentis yang akan kita bangun pada bagian akhir course. Pertanyaan pengujian hipotesis memang berbunyi terbalik seperti pertanyaan pasien: bukan “berapa peluang data semacam ini bila hipotesis benar” — pertanyaan itu dijawab p-value — melainkan “berapa keyakinan kita pada hipotesis setelah data terlihat”. Kedua arah itu berbeda persis seperti P(positif | sakit) berbeda dari P(sakit | positif), dan kekeliruran menukarnya adalah salah tafsir p-value yang paling sering tercatat dalam laporan riset. Memahami teorema Bayes sekarang, sebelum masuk inferensia, memberi kita kompas arah: setiap kali bertemu angka probabilitas bersyarat, tanyakan dulu sedang berada di arah yang mana.

Section Dasar Probabilitas kini lengkap — dari ukuran ketidakpastian, ruang sampel dan kejadian, dua aturan penggabungan, probabilitas bersyarat, hingga pembaruan keyakinan lewat Bayes. Alat berikutnya mengubah kejadian menjadi bilangan: variabel acak memetakan setiap hasil ke angka sehingga mean, varians, dan seluruh perangkat statistika deskriptif bisa bekerja di atas peluang — jembatan itu dibangun pada section Variabel Acak dan Distribusi.