Menghitung P(As) = 4/52 pada chapter sebelumnya terasa mudah karena isi tumpukan kartu bisa dihitung langsung. Perhitungan probabilitas selalu bertumpu pada dua bahan itu: daftar lengkap seluruh hasil yang mungkin, dan kejadian sebagai kumpulan hasil yang kita minati. Kedua bahan layak diberi nama dan aturan main yang tegas sebelum aturan penjumlahan dan perkalian masuk, sebab kekeliruan menghitung probabilitas hampir selalu berakar pada daftar hasil yang tidak lengkap atau kejadian yang tidak didefinisikan tegas. Chapter ini membangun ruang sampel dan kejadian secara sistematis, memperkenalkan operasi himpunan pada kejadian, lalu memakai tabel dua dadu sebagai peta kerja penghitungan.
Ruang Sampel: Daftar Semua Hasil yang Mungkin #
Ruang sampel S adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin dari sebuah eksperimen acak. Satu lemparan dadu enam sisi memiliki S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Satu lemparan koin memiliki S = {angka, gambar}. Dua koin yang dilempar bersama memiliki S = {angka-angka, angka-gambar, gambar-angka, gambar-gambar} — empat hasil, bukan tiga, karena koin pertama dan koin kedua dibedakan; hasil “angka-gambar” dan “gambar-angka” adalah dua hasil berbeda. Menuliskan ruang sampel secara eksplisit terasa berlebihan untuk satu koin, tetapi kebiasaan ini menyelamatkan perhitungan begitu eksperimen membesar.
Dua dadu yang dilempar bersama menghasilkan pasangan terurut (mata dadu pertama, mata dadu kedua). Mata dadu pertama punya enam kemungkinan, mata dadu kedua juga enam, dan setiap kombinasi bisa terjadi — ada 6 × 6 = 36 pasangan berbeda. Kalau kedua dadu seimbang, semua 36 pasangan itu sama mungkin terjadi, masing-masing berpeluang 1/36. Daftar 36 pasangan inilah ruang sampel dua dadu, dan semua hitungan pada dua dadu selalu berpijak padanya.
Tabel Dua Dadu: Peta 36 Hasil #
Tabel berikut merangkum 36 pasangan lewat jumlah matanya. Baris menyatakan mata dadu pertama, kolom menyatakan mata dadu kedua, dan isi setiap sel adalah jumlah keduanya:
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Tabel ini memperlihatkan dua hal penting. Pertama, setiap jumlah mata punya banyak pasangan berbeda: jumlah 7 tercapai lewat enam pasangan, sedangkan jumlah 2 dan jumlah 12 masing-masing hanya satu pasangan. Kedua, yang sama mungkin adalah pasangan mata dadunya, bukan jumlahnya — kejadian “jumlah mata 7” berpeluang 6/36 sedangkan “jumlah mata 12” berpeluang 1/36. Menganggap sebelas kemungkinan jumlah (2 sampai 12) sama mungkin adalah kekeliruran klasik probabilitas; dengan tabel ini, hitungan pasangannya bisa diperiksa sel demi sel sehingga salah hitung cepat ketahuan.
Kejadian: Himpunan Bagian dari Ruang Sampel #
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel — kumpulan hasil yang kita minati. Kejadian “jumlah mata 7” pada dua dadu adalah himpunan {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} dengan enam anggota. Kejadian “jumlah mata genap” menghimpun seluruh pasangan dengan jumlah 2, 4, 6, 8, 10, atau 12 — total 18 pasangan. Kejadian sederhana (simple event) memuat tepat satu hasil, misalnya pasangan (3,4); kejadian seperti “jumlah mata 7” adalah gabungan enam kejadian sederhana. Pada ruang sampel dengan hasil sama mungkin, probabilitas kejadian A cukup dihitung dengan menghitung anggota:
P(A) = banyaknya anggota A / banyaknya anggota SKejadian “jumlah mata 7” karenanya berpeluang 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667 (dibulatkan ke empat desimal). Perhatikan bahwa P(jumlah mata 7) sama besar dengan P(jumlah mata 8) — keduanya memuat enam pasangan — padahal kedua kejadian itu berbeda isinya sama sekali. Probabilitas hanya menghitung banyaknya anggota, bukan anggota mana yang masuk.
Operasi Himpunan: Gabungan, Irisan, dan Komplemen #
Karena kejadian adalah himpunan, kita boleh menggabungkannya dengan operasi himpunan. Gabungan A ∪ B adalah kejadian “A atau B terjadi”; irisan A ∩ B adalah kejadian “A dan B terjadi bersamaan”; komplemen A^c (dibaca A-komplemen) adalah kejadian “A tidak terjadi”. Diagram berikut memperlihatkan ketiganya pada dua kejadian yang tumpang-tindih di dalam ruang sampel S:
┌──────────────────────────────────────────┐
│ S │
│ │
│ ┌────────────────────┐ │
│ │ hanya A │ │
│ │ ┌─────────────┼───────────┐ │
│ │ │ A ∩ B │ hanya B │ │
│ │ │ │ │ │
│ └──────┼─────────────┘ │ │
│ │ hanya B │ │
│ └─────────────────────────┘ │
│ A^c = seluruh wilayah S di luar kotak A │
└──────────────────────────────────────────┘Contoh pada kartu memperjelas tiap operasi. Misalkan A = “kartu As” dan B = “kartu hati” dari satu setelan 52 kartu. Gabungan A ∪ B menghimpun 4 + 13 − 1 = 16 kartu (As hati hanya dihitung sekali); irisan A ∩ B menghimpun tepat satu kartu, yaitu As hati; komplemen A^c menghimpun 48 kartu bukan As. Operasi komplemen sudah kita pakai pada chapter Konsep Probabilitas lewat P(A^c) = 1 − P(A), dan diagram di atas memperlihatkan dari mana rumus itu berasal.
Kejadian Saling Lepas #
Dua kejadian saling lepas (mutually exclusive, disjoint) bila keduanya tidak bisa terjadi bersamaan: irisan A ∩ B adalah himpunan kosong ∅. Kejadian “kartu As” dan kejadian “kartu King” saling lepas, karena satu kartu tidak mungkin sekaligus As dan King — irisan keduanya kosong dan P(As ∩ King) = 0. Sebaliknya, kejadian “kartu As” dan kejadian “kartu hati” tidak saling lepas, karena As hati memenuhi keduanya sekaligus. Status saling lepas menentukan bentuk aturan penjumlahan yang boleh dipakai pada chapter berikutnya, dan — lewat konsep kebebasan kejadian — juga mewarnai aturan perkalian.
Menghitung dengan Menghitung Anggota #
Contoh terapan: berapa peluang jumlah mata dua dadu paling sedikit 10? Dari tabel, jumlah mata 10 tercapai lewat tiga pasangan — (4,6), (5,5), (6,4); jumlah mata 11 lewat dua pasangan — (5,6), (6,5); jumlah mata 12 lewat satu pasangan — (6,6). Kejadian “jumlah mata minimal 10” menghimpun 3 + 2 + 1 = 6 pasangan, sehingga peluangnya 6/36 = 1/6 ≈ 0.1667. Menariknya, peluang ini persis sama dengan peluang “jumlah mata 7” meski kejadiannya sangat berbeda — keduanya sama-sama memuat enam pasangan dari 36 hasil.
Menghitung dengan Enumerasi di Python #
Untuk eksperimen besar, menghitung pasangan dengan mata sudah tidak praktis; enumerasi lewat kode lebih aman. Modul itertools.product menghasilkan seluruh pasangan dua dadu tanpa kita menulis 36 baris:
import itertools
from fractions import Fraction as F
ruang_sampel = list(itertools.product(range(1, 7), repeat=2))
print(f"banyak hasil = {len(ruang_sampel)}")
jumlah_7 = [pasangan for pasangan in ruang_sampel if sum(pasangan) == 7]
print(f"jumlah mata 7 : {len(jumlah_7)} pasangan -> P = {F(len(jumlah_7), 36)}")
jumlah_10_plus = [pasangan for pasangan in ruang_sampel if sum(pasangan) >= 10]
print(f"jumlah mata >=10 : {len(jumlah_10_plus)} pasangan -> P = {F(len(jumlah_10_plus), 36)}")
print(f"daftar jumlah 7 : {jumlah_7}")
print(f"daftar jumlah >=10 : {jumlah_10_plus}")Output yang Dihasilkan:
banyak hasil = 36
jumlah mata 7 : 6 pasangan -> P = 1/6
jumlah mata >=10 : 6 pasangan -> P = 1/6
daftar jumlah 7 : [(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)]
daftar jumlah >=10 : [(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)]Mari kita bedah kode di atas:
- Baris 4:
itertools.product(range(1, 7), repeat=2)menghasilkan produk kartesian dua daftar 1-6 — seluruh 36 pasangan terurut, persis tabel dua dadu. - Baris 7 dan 10: list comprehension menyaring pasangan yang jumlahnya 7 dan yang jumlahnya minimal 10;
lenmenghitung anggotanya danFractionmenyederhanakan 6/36 menjadi 1/6. - Baris 12-13: daftar pasangan tercetak penuh sehingga pembaca bisa mencocokkannya dengan sel tabel — enumerasi kode dan tabel manual saling memeriksa.
Enumerasi seperti ini disebut pendekatan brute force dan bekerja sempurna selama ruang sampel berukuran terkendali; OpenIntro Statistics membahas konvensi ruang sampel dan kejadian dengan cara yang sama (https://www.openintro.org/book/os/ ). Dengan ruang sampel dan kejadian di tangan, pertanyaan berikutnya bersifat operasional: berapa peluang kejadian A atau kejadian B? Jawaban langsung P(A) + P(B) hanya benar bila keduanya saling lepas — bila tumpang-tindih, anggota irisan terhitung dua kali. Aturan penjumlahan pada chapter berikutnya membereskan hitungan itu.