Probabilitas Bersyarat

Informasi baru selalu mengubah keyakinan. Begitu petugas kantin tahu seorang siswa memesan nasi goreng, tebakan petugas tentang minuman siswa itu sebaiknya ikut disesuaikan — data kantin pada chapter ini memang menunjukkan pemesan nasi goreng sedikit lebih cenderung memilih teh daripada pemesan mie ayam. Probabilitas bersyarat adalah alat resmi untuk penyesuaian semacam itu: probabilitas sebuah kejadian setelah kejadian lain diketahui terjadi. Chapter ini membangun definisinya dari tabel kantin, membuktikan bahwa dua arah pengondisian tidak bisa saling ditukar, merumuskan aturan perkalian dalam bentuk umum, lalu mendefinisikan ulang kebebasan kejadian dengan presisi penuh.

Definisi Probabilitas Bersyarat #

Untuk dua kejadian A dan B dengan P(B) > 0, probabilitas A dengan syarat B ditulis:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

Cara membacanya: “peluang A dengan syarat B” atau “peluang A bila B terjadi”. Intuisinya adalah penyempitan ruang sampel — begitu B diketahui terjadi, seluruh hasil di luar B tidak relevan lagi, dan kita menghitung ulang proporsi A di dalam wilayah B saja. Penyebut menjadi P(B) karena dasar perhitungan berganti dari seluruh ruang sampel S menjadi bagian B; pembilang tetap bagian A yang berada di dalam B.

Tabel Kantin: Dua Arah Pengondisian #

Data kantin sekolah kembali dipakai, kini dengan pertanyaan arah balik. Tabel silang 2×2 dari 30 siswa:

Pertanyaan pertama: di antara pemesan teh, berapa proporsi yang memesan nasi goreng? Pemesan teh ada 16 siswa, dan 10 di antaranya memesan nasi goreng:

P(nasi goreng | teh) = 10/16 = 5/8 = 0.625

Pertanyaan kedua membalik arahnya: di antara pemesan nasi goreng, berapa proporsi yang memesan teh? Pemesan nasi goreng ada 18 siswa, dan 10 di antaranya memesan teh:

P(teh | nasi goreng) = 10/18 = 5/9 ≈ 0.5556

Kedua hitungan memakai sel yang sama — 10 siswa — tetapi hasilnya berbeda: 0.625 dan 0.5556 (dibulatkan ke empat desimal). Penyebabnya sederhana: penyebutnya berbeda (16 lawan 18) karena dasar pengondisian berganti. Kesimpulan umumnya penting: P(A|B) dan P(B|A) adalah dua pertanyaan yang berbeda dan umumnya punya dua jawaban yang berbeda.

Pengondisian Mengubah Angka #

Seberapa besar efek informasi baru? Bandingkan probabilitas bersyarat dengan probabilitas tanpa syarat. Peluang seorang siswa acak memesan teh adalah P(teh) = 16/30 = 8/15 ≈ 0.5333. Setelah diketahui siswa itu memesan nasi goreng, peluangnya bergeser ke P(teh | nasi goreng) = 5/9 ≈ 0.5556 — naik sekitar 0.02. Pergeseran sebaliknya juga terlihat: P(nasi goreng) = 18/30 = 0.6 menjadi P(nasi goreng | teh) = 10/16 = 0.625 setelah diketahui minumannya teh.

Pergeseran ini kecil karena hubungan makanan dan minuman pada data kita memang lemah. Pada data lain, penggeserannya bisa drastis: peluang sebuah kartu bernilai King adalah 4/52 = 1/13 ≈ 0.0769 pada dek penuh, tetapi meloncat menjadi 4/12 = 1/3 ≈ 0.3333 bila kita diberi tahu kartu itu bergambar (King, Queen, atau Jack). Besar kecilnya pergeseran menunjukkan seberapa kuat informasi baru terkait dengan kejadian yang ditanyakan — dasar angka laju dasar (base rate) yang dibahas tuntas pada chapter Teorema Bayes.

Contoh Kartu: As di Antara Kartu Merah #

Contoh satu kartu memperlihatkan kasus pengondisian yang tidak menggeser apa pun. Kartu merah berjumlah 26 dari 52 — setelan hati dan wajik. Di antara 26 kartu merah itu, dua adalah As (As hati dan As wajik), sehingga:

P(As | merah) = 2/26 = 1/13 ≈ 0.0769

Angka ini persis sama dengan P(As) = 4/52 = 1/13 pada dek penuh — mengetahui warna kartu tidak mengubah peluang kartu itu As. Warna dan nilai pada dek standar memang tidak berhubungan: tiap setelan memuat tepat satu As, sehingga proporsi As sama di kelompok merah, kelompok hitam, maupun dek penuh. Kasus seperti ini adalah petunjuk kebebasan kejadian, yang kita rumuskan tegas pada bagian akhir chapter.

Tabel Probabilitas Bersyarat: Baris vs Kolom #

Tabel silang yang sama bisa dibaca menurut dua arah pengondisian. Menghitung proporsi per baris menjawab “diberi pesanan makanan, minuman apa yang dipilih”:

Menghitung proporsi per kolom menjawab arah sebaliknya, “diberi minuman, makanan apa yang dipilih”:

Kedua tabel dibulatkan ke tiga desimal dan tiap barisnya berjumlah 1 karena kedua minuman (atau kedua makanan) saling komplemen di dalam kelompok syaratnya. Perhatikan pula bahwa proporsi teh pada pemesan nasi goreng (0.556) dan pemesan mie ayam (0.500) tidak sama — makanan dan minuman pada data ini tidak saling bebas. Pilih arah tabel sesuai pertanyaan yang diajukan; tabel baris dan tabel kolom menjawab dua pertanyaan berbeda dari sumber data yang sama.

Aturan Perkalian Bentuk Umum #

Definisi probabilitas bersyarat bisa dibalik menjadi aturan perkalian yang berlaku untuk kejadian apa pun, bebas maupun tidak:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)

Uji pada tabel kantin: P(nasi goreng) × P(teh | nasi goreng) = 18/30 × 10/18 = 10/30 = 1/3 — persis proporsi sel nasi goreng-teh dari 30 siswa. Jalur arah balik memberi angka yang sama: P(teh) × P(nasi goreng | teh) = 16/30 × 10/16 = 10/30 = 1/3. Kedua arah selalu sampai pada irisan yang sama karena keduanya menghitung sel tabel yang sama. Untuk proses bertahap, aturan ini merantai: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) × P(B|A) × P(C|A ∩ B) — tiap faktor memakai seluruh informasi tahap sebelumnya. Aturan perkalian untuk kejadian bebas pada chapter sebelumnya adalah kasus khusus ketika semua faktor bersyaratnya ternyata tidak berubah dari probabilitas tanpa syaratnya.

Kejadian Bebas, Dirumuskan Ulang #

Dengan probabilitas bersyarat di tangan, kebebasan kejadian kini bisa didefinisikan presisi: A dan B bebas bila informasi B tidak mengubah peluang A sama sekali:

A dan B bebas  <=>  P(A | B) = P(A)

Definisi ini setara dengan P(A ∩ B) = P(A) × P(B) — bila P(A|B) = P(A), substitusi ke definisi bersyarat langsung menghasilkan perkalian. Uji kedua contoh chapter ini: P(teh | nasi goreng) = 5/9 ≈ 0.5556 tidak sama dengan P(teh) = 8/15 ≈ 0.5333, jadi makanan dan minuman kantin tidak bebas. Sebaliknya P(As | merah) = 1/13 sama persis dengan P(As) = 1/13, jadi kejadian As dan kejadian merah pada satu kartu bebas. Kedua definisi — lewat irisan maupun lewat pengondisian — selalu memberi putusan yang sama; memakai yang mana cukup soal data mana yang tersedia di tangan.

Menuju Teorema Bayes #

Bayangkan sebuah tes penyaring: dari uji klinis, produsen mengetahui P(positif | sakit) — peluang tes bereaksi positif pada orang yang memang membawa penyakitnya. Pasien yang menerima hasil positif justru bertanya kebalikannya: P(sakit | positif) — peluang saya benar-benar memerlukan tindak lanjut? Membalik arah pengondisian membutuhkan dua bahan tambahan: peluang awal orang terpilih membawa penyakit, dan peluang tes memberi hasil positif pada orang sehat. Pembalikan arah inilah yang dirumuskan teorema Bayes pada chapter berikutnya, dan angka hasilnya sering jauh dari dugaan awal kebanyakan orang.

Menghitung Bersyarat dari Tabel Kantin dengan Python #

Blok kode berikut menghitung seluruh probabilitas bersyarat chapter ini langsung dari empat sel tabel:

from fractions import Fraction as F

nasi_teh, nasi_kopi = 10, 8
mie_teh, mie_kopi = 6, 6
nasi = nasi_teh + nasi_kopi
teh = nasi_teh + mie_teh
total = nasi + mie_teh + mie_kopi

print(f"P(nasi goreng | teh) = {F(nasi_teh, teh)} = {float(F(nasi_teh, teh)):.4f}")
print(f"P(teh | nasi goreng) = {F(nasi_teh, nasi)} = {float(F(nasi_teh, nasi)):.4f}")
print(f"P(teh)               = {F(teh, total)} = {float(F(teh, total)):.4f}")
print(f"P(nasi) x P(teh | nasi) = {F(nasi, total) * F(nasi_teh, nasi)}")
print(f"P(As | merah) = {F(2, 26)} = {float(F(2, 26)):.4f}")
print(f"P(As)         = {F(4, 52)} = {float(F(4, 52)):.4f}")

Output yang Dihasilkan:

P(nasi goreng | teh) = 5/8 = 0.6250
P(teh | nasi goreng) = 5/9 = 0.5556
P(teh)               = 8/15 = 0.5333
P(nasi) x P(teh | nasi) = 1/3
P(As | merah) = 1/13 = 0.0769
P(As)         = 1/13 = 0.0769

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3-8: margin baris (nasi), margin kolom (teh), dan total dibangun dari empat sel tabel — angka margin tidak diketik manual sehingga konsistensi tabel terjaga otomatis.
2. Baris 9-10: dua arah pengondisian dihitung berdampingan dan tercetak berbeda (5/8 lawan 5/9) — penyebut 16 dan 18 berasal dari margin kolom dan margin baris.
3. Baris 12: aturan perkalian bentuk umum diverifikasi: 18/30 × 10/18 tersederhanakan eksak menjadi 1/3, proporsi sel nasi goreng-teh.
4. Baris 13-14: kasus kartu menutup kode — P(As | merah) dan P(As) tercetak sama, menandai kejadian yang bebas.

Rujukan pembahasan probabilitas bersyarat dengan notasi himpunan tersedia pada PSU STAT 500 dan OpenIntro Statistics (https://online.stat.psu.edu/stat500/ , https://www.openintro.org/book/os/ ). Kita kini mampu menghitung probabilitas setelah informasi baru datang; yang tersisa dari section ini adalah pembalikan arahnya. Teorema Bayes pada chapter penutup menuntaskan pembalikan itu dan memperlihatkan mengapa angka hasilnya kerap jauh dari intuisi pertama pembaca.