Aturan Perkalian

Aturan penjumlahan menuntaskan pertanyaan “atau”; kini giliran pertanyaan “dan”: berapa peluang dua kejadian terjadi bersamaan? Jawabannya paling sederhana bila kedua kejadian tidak saling memengaruhi — lemparan koin kedua tidak membawa ingatan tentang hasil lemparan pertama, dan pengambilan kartu dari dek penuh yang selalu dikembalikan tidak mengubah isi dek untuk pengambilan berikutnya. Syarat “tidak saling memengaruhi” itu punya nama resmi: kejadian bebas (independent). Chapter ini membangun aturan perkalian untuk kejadian bebas, membandingkan pengambilan dengan dan tanpa pengembalian, merantai probabilitas pada proses bertahap, lalu memisahkan dengan tegas dua konsep yang paling sering tertukar: bebas dan saling lepas.

Kejadian Bebas dan Aturan Perkalian #

Dua kejadian disebut bebas (independent) bila terjadinya kejadian yang satu tidak mengubah peluang kejadian yang lain. Untuk kejadian bebas, probabilitas irisannya cukup dikalikan:

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)      (hanya bila A dan B bebas)

Contoh paling bersih: dua lemparan koin. Peluang sisi gambar pada lemparan pertama 1/2, pada lemparan kedua tetap 1/2, dan keduanya tidak saling memengaruhi, sehingga P(gambar lalu gambar lagi) = 1/2 × 1/2 = 1/4 = 0.25. Kejadian “dua gambar” adalah satu dari empat hasil yang sama mungkin — gambar-gambar, gambar-angka, angka-gambar, angka-angka — dan 1/4 dari empat hasil itu masuk akal tanpa rumus apa pun. Perkalian hanya merangkum penghitungan tersebut.

Diagram Pohon Dua Lemparan #

Proses bertahap paling mudah dibaca lewat diagram pohon: setiap cabang adalah satu tahap, dan probabilitas jalur dari akar ke daun adalah hasil kali probabilitas semua cabang yang dilalui. Berikut diagram pohon dua lemparan koin:

lemparan 1     lemparan 2      hasil             peluang
-----------    -----------     ---------------   -------------
               gambar (1/2)    gambar, gambar    1/2 x 1/2 = 1/4
gambar (1/2) --
               angka  (1/2)    gambar, angka     1/2 x 1/2 = 1/4

               gambar (1/2)    angka, gambar     1/2 x 1/2 = 1/4
angka  (1/2) --
               angka  (1/2)    angka, angka      1/2 x 1/2 = 1/4

Empat jalur pohon memuat seluruh ruang sampel, sehingga peluangnya harus berjumlah 1 — dan memang 4 × 1/4 = 1. Pemeriksaan “jumlah seluruh jalur = 1” adalah uji kewajaran termurah untuk setiap diagram pohon: bila jumlahnya bukan 1, ada jalur yang hilang atau probabilitas cabang yang salah.

Dengan Pengembalian vs Tanpa Pengembalian #

Kasus kartu memperlihatkan batas aturan perkalian dengan jelas. Ambil satu kartu dari dek 52, catat hasilnya, lalu ambil kartu kedua. Pertanyaannya: peluang mendapat As dua kali berturut-turut?

Dengan pengembalian — kartu pertama dikembalikan dan dek dikocok ulang — kedua pengambilan berlangsung pada dek yang sama sehingga bebas:

P(As lalu As lagi) = 4/52 × 4/52 = 16/2704 = 1/169 ≈ 0.0059

Tanpa pengembalian — kartu pertama tetap di tangan — kedua pengambilan tidak bebas. Setelah As pertama terambil, dek tersisa 51 kartu dengan hanya 3 As:

P(As lalu As lagi) = 4/52 × 3/51 = 12/2652 = 1/221 ≈ 0.0045

Kedua angka berbeda (dibulatkan ke empat desimal) karena faktor kedua berubah dari 4/52 menjadi 3/51 — informasi “As pertama sudah terambil” menurunkan peluang As kedua. Angka 3/51 ini adalah probabilitas bersyarat, pokok bahasan chapter berikutnya; untuk sekarang, cukup dicatat bahwa perkalian langsung P(A) × P(B) hanya sah bila kedua kejadian benar-benar bebas.

Perkalian Berantai untuk Proses Bertahap #

Untuk proses tiga tahap yang saling bebas, perkalian berantai berlaku terus:

P(A1 dan A2 dan A3) = P(A1) × P(A2) × P(A3)      (ketiganya saling bebas)

Melempar tiga koin: peluang ketiganya gambar adalah 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8 = 0.125 — satu dari delapan hasil yang sama mungkin. Contoh bertahap dari kantin: katakanlah peluang stok nasi goreng habis pada suatu hari adalah 0.1, dan hari-hari diasumsikan saling bebas; peluang kehabisan stok tiga hari berturut-turut adalah 0.1 × 0.1 × 0.1 = 0.001. Angka yang mengecil cepat ini ciri khas perkalian berantai: kejadian langka yang harus terjadi berurutan menjadi makin langka seiring bertambahnya tahap — alasan mengapa proses produksi panjang menuntut tiap tahap sangat andal.

Bebas vs Saling Lepas: Dua Konsep Berbeda #

Bebas dan saling lepas sering tertukar padahal keduanya menjawab pertanyaan yang berbeda. Saling lepas bertanya “bisakah terjadi bersamaan?”; bebas bertanya “apakah kejadian yang satu mengubah peluang kejadian lain?”. Perbandingannya dirangkum tabel berikut:

Contoh kartu pada baris terakhir layak dibedah. Kejadian “kartu As” dan “kartu King” saling lepas — tidak mungkin sekaligus — tetapi justru karena itu keduanya tidak bebas: mengetahui kartunya King membuat peluang kartu itu As menjadi 0, jauh dari P(As) = 1/13. Sebaliknya, kejadian “kartu As” dan “kartu merah” tidak saling lepas karena As hati dan As wajik memenuhi keduanya; namun keduanya bebas — di antara 26 kartu merah ada 2 As sehingga P(As | merah) = 2/26 = 1/13, persis P(As) pada dek penuh, dan P(As) × P(merah) = 1/13 × 1/2 = 1/52 = P(As merah).

Sekilas: Keandalan Sistem Komponen #

Aturan perkalian dan komplemennya bekerja pada perhitungan keandalan (reliability) sistem. Sistem seri dua komponen yang masing-masing bekerja dengan peluang 0.9 hanya berjalan bila keduanya bekerja: 0.9 × 0.9 = 0.81. Sistem paralel berjalan bila sekurang-kurangnya satu bekerja: keduanya gagal hanya dengan peluang 0.1 × 0.1 = 0.01, sehingga keandalan sistem 1 − 0.01 = 0.99. Menambahkan jalur cadangan menaikkan keandalan jauh lebih efektif daripada menaikkan keandalan satu komponen — aritmetika probabilitas yang sederhana, akibat desain yang nyata.

Memverifikasi Perkalian dengan Python #

Blok kode berikut memeriksa seluruh contoh chapter ini dengan pecahan eksak:

from fractions import Fraction as F

p_gambar = F(1, 2)
print(f"P(dua gambar) = {p_gambar * p_gambar} = {float(p_gambar * p_gambar):.4f}")

p_as = F(4, 52)
p_as_as_ganti = p_as * p_as
p_as_as_tahan = p_as * F(3, 51)
print(f"P(As lalu As lagi, dengan pengembalian) = {p_as_as_ganti} = {float(p_as_as_ganti):.4f}")
print(f"P(As lalu As lagi, tanpa pengembalian)  = {p_as_as_tahan} = {float(p_as_as_tahan):.4f}")

print(f"P(tiga gambar berturut-turut) = {p_gambar ** 3} = {float(p_gambar ** 3):.4f}")

p_king = F(4, 52)
print(f"P(As) x P(King) = {p_as * p_king} ; P(As dan King) = 0 -> tidak bebas")

andal = 0.9
print(f"keandalan sistem seri    = {andal ** 2:.2f}")
print(f"keandalan sistem paralel = {1 - (1 - andal) ** 2:.2f}")

Output yang Dihasilkan:

P(dua gambar) = 1/4 = 0.2500
P(As lalu As lagi, dengan pengembalian) = 1/169 = 0.0059
P(As lalu As lagi, tanpa pengembalian)  = 1/221 = 0.0045
P(tiga gambar berturut-turut) = 1/8 = 0.1250
P(As) x P(King) = 1/169 ; P(As dan King) = 0 -> tidak bebas
keandalan sistem seri    = 0.81
keandalan sistem paralel = 0.99

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3: perkalian pecahan eksak menghasilkan 1/4 — penyederhanaan otomatis juga bekerja untuk 1/2 pangkat tiga menjadi 1/8.
2. Baris 6-8: kedua skenario kartu dibandingkan berdampingan; 1/169 dan 1/221 terlihat berdekatan sebagai desimal (0.0059 dan 0.0045) tetapi berbeda sumber — yang pertama bebas, yang kedua bersyarat.
3. Baris 14-15: kontras bebas vs saling lepas tercetak dalam satu baris — hasil kali 1/169 tidak sama dengan irisan 0.
4. Baris 17-19: keandalan dihitung dengan bilangan desimal dan dicetak dua desimal; sistem paralel memakai komplemen 1 − (1 − 0.9)².

Aturan perkalian untuk kejadian bebas mengalikan probabilitas apa adanya. Namun contoh tanpa pengembalian memperlihatkan bahwa faktor kedua bisa berubah menjadi 3/51 — angka yang bergantung pada hasil tahap pertama. Bentuk umumnya, P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A), adalah isi utama chapter berikutnya: probabilitas bersyarat, tempat informasi baru secara eksplisit mengubah angka peluang.