Pertanyaan “berapa peluang A atau B” muncul setiap kali dua syarat bisa sama-sama memenuhi kebutuhan kita: pesanan berisi nasi goreng atau teh sudah cukup untuk membuat kantin untung, kartu As atau kartu hati sama-sama menang dalam permainan tertentu. Intuisi pertama kebanyakan orang adalah menjumlahkan kedua probabilitas, dan intuisi itu hanya benar bila kedua kejadian tidak bisa terjadi bersamaan. Bila kedua kejadian bisa terjadi bersamaan, penjumlahan polos menghitung hasil tumpang-tindih itu dua kali dan bisa melampaui angka 1 — jelas tidak boleh untuk sebuah probabilitas. Chapter ini membangun aturan penjumlahan yang benar, menjelaskan intuisi pengurangannya, lalu memperluasnya ke tiga kejadian lewat rumus inklusi-eksklusi.

Aturan Penjumlahan untuk Dua Kejadian #

Untuk dua kejadian apa pun pada ruang sampel yang sama, probabilitas gabungannya adalah:

text 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Mengapa irisan dikurangkan? Saat kita menjumlahkan P(A) + P(B), setiap hasil di dalam irisan A ∩ B ikut terhitung dua kali — sekali sebagai anggota A, sekali lagi sebagai anggota B. Penghitungan ganda ini persis masalah yang diperbaiki dengan mengembalikan P(A ∩ B) satu kali, sehingga tiap hasil di dalam gabungan terhitung tepat satu kali. Rumus himpunannya sendiri sudah kita pakai secara diam-diam pada chapter sebelumnya saat menghitung isi gabungan “As atau hati” berisi 4 + 13 − 1 = 16 kartu.

Contoh Kartu: As atau Hati #

Kita hitung lengkap dengan pecahan. Kejadian A = “kartu As” memuat 4 dari 52 kartu; kejadian B = “kartu hati” memuat 13 dari 52; irisan A ∩ B = “As hati” memuat tepat 1 kartu:

text 
P(As atau hati) = 4/52 + 13/52 - 1/52
                = 16/52
                = 4/13 ≈ 0.3077

Cara memeriksa yang sehat: hitung anggota gabungannya langsung. Kartu As ada empat, kartu hati selain As hati ada dua belas, total 16 kartu — persis 16/52. Dua jalur hitung sampai pada angka yang sama karena keduanya menghitung himpunan yang sama.

Contoh Kantin: Nasi Goreng atau Teh #

Data kantin sekolah menyertakan minuman, sehingga kita bisa membentuk tabel silang 2×2 dari 30 siswa:

PesananTehKopiTotal
Nasi goreng10818
Mie ayam6612
Total161430

Pertanyaannya: berapa peluang seorang siswa terpilih acak memesan nasi goreng atau teh? Dari tabel, P(nasi goreng) = 18/30, P(teh) = 16/30, dan P(nasi goreng dan teh) = 10/30:

text 
P(nasi goreng atau teh) = 18/30 + 16/30 - 10/30
                       = 24/30
                       = 4/5 = 0.8

Tabel silang memungkinkan pemeriksaan langsung: siswa yang tidak termasuk gabungan hanyalah pemesan mie ayam dengan kopi — 6 siswa. Gabungan memuat 30 − 6 = 24 siswa, dan 24/30 = 0.8, persis hasil aturan penjumlahan. Kebiasaan memeriksa lewat penghitungan langsung seperti ini murah dan hampir selalu menangkap kekeliruran.

Kasus Khusus: Kejadian Saling Lepas #

Bila A dan B saling lepas (irisan kosong), P(A ∩ B) = 0 dan suku pengurangnya hilang:

text 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)      (hanya bila A dan B saling lepas)

Contoh pada dua dadu: kejadian “jumlah mata 2” dan “jumlah mata 12” saling lepas karena satu lemparan tidak mungkin menghasilkan keduanya. Peluang gabungannya 1/36 + 1/36 = 2/36 = 1/18 ≈ 0.0556 (dibulatkan ke empat desimal). Aturan penjumlahan penuh tetap berlaku untuk kasus ini — kita hanya menikmati penyederhanaan karena irisannya kosong.

Contoh Dua Dadu: Mata Pertama Genap atau Jumlah Tujuh #

Contoh ini memperlihatkan irisan yang tidak kosong pada ruang sampel dua dadu. Kejadian A = “mata dadu pertama genap” memuat 18 pasangan (mata pertama 2, 4, atau 6 — masing-masing dipasangkan enam kemungkinan mata kedua). Kejadian B = “jumlah mata 7” memuat 6 pasangan. Irisannya adalah pasangan dengan mata pertama genap sekaligus jumlah 7: {(2,5), (4,3), (6,1)} — tiga pasangan:

text 
P(A ∪ B) = 18/36 + 6/36 - 3/36
         = 21/36
         = 7/12 ≈ 0.5833

Perhatikan betapa pentingnya pengurangan: tanpa suku −3/36, hasilnya 24/36 terlalu besar. Tiga pasangan irisan — (2,5), (4,3), (6,1) — memang terhitung dua kali pada penjumlahan polos, karena ketiganya sekaligus anggota A dan anggota B.

Tiga Kejadian: Rumus Inklusi-Eksklusi #

Gabungan tiga kejadian perlu pengurangan dan penambahan bergantian. Hasil pengurangan semua irisan dua-dua ternyata membuang irisan tiga sekaligus terlalu banyak, sehingga harus dikembalikan:

text 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C)
             - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C)
             + P(A ∩ B ∩ C)

Contoh terapan: survei preferensi musik pada 40 siswa. Sebanyak 20 siswa menyukai pop, 15 menyukai rock, dan 10 menyukai jazz; 6 siswa menyukai pop sekaligus rock, 4 siswa pop sekaligus jazz, 3 siswa rock sekaligus jazz, dan 1 siswa menyukai ketiganya. Banyak siswa yang menyukai minimal satu genre:

text 
20 + 15 + 10 - 6 - 4 - 3 + 1 = 33 siswa

Probabilitasnya 33/40 = 0.825 — artinya 7 siswa tidak menyukai satu pun genre tersebut (proporsi 7/40 = 0.175), dan angka itu bisa dicek lewat komplemen 1 − 0.825 = 0.175. Pola penghitungannya bisa dipecah per wilayah Venn bila perlu: pop saja 11 siswa, rock saja 7, jazz saja 4, pop-rock saja 5, pop-jazz saja 3, rock-jazz saja 2, ketiganya 1 — total tetap 33. Rumus inklusi-eksklusi berlanjut ke empat, lima, kejadian dengan pola selang-seling yang sama, meski dalam praktik statistika, kebutuhan di atas tiga kejadian jarang dihitung manual.

Memverifikasi Empat Hitungan dengan Python #

Satu blok kode memeriksa seluruh contoh chapter ini dengan pecahan eksak:

python 
from fractions import Fraction as F

p_as, p_hati, p_as_hati = F(4, 52), F(13, 52), F(1, 52)
p_atau_kartu = p_as + p_hati - p_as_hati
print(f"P(As atau hati)        = {p_atau_kartu} = {float(p_atau_kartu):.4f}")

p_ng, p_teh, p_ng_teh = F(18, 30), F(16, 30), F(10, 30)
p_atau_kantin = p_ng + p_teh - p_ng_teh
print(f"P(NG atau teh)         = {p_atau_kantin} = {float(p_atau_kantin):.4f}")

p_genap, p_7, p_isi = F(18, 36), F(6, 36), F(3, 36)
p_atau_dadu = p_genap + p_7 - p_isi
print(f"P(genap atau jumlah 7) = {p_atau_dadu} = {float(p_atau_dadu):.4f}")

pop, rock, jazz = 20, 15, 10
union = pop + rock + jazz - 6 - 4 - 3 + 1
print(f"P(minimal satu genre)  = {F(union, 40)} = {float(F(union, 40)):.4f}")

Output yang Dihasilkan:

text 
P(As atau hati)        = 4/13 = 0.3077
P(NG atau teh)         = 4/5 = 0.8000
P(genap atau jumlah 7) = 7/12 = 0.5833
P(minimal satu genre)  = 33/40 = 0.8250

Mari kita bedah kode di atas:

  1. Baris 3-5: tiga pecahan kartu dimuat sebagai Fraction, lalu aturan penjumlahan diterapkan eksak — hasil 16/52 otomatis tersederhanakan menjadi 4/13 oleh objek pecahan.
  2. Baris 7-9: hitungan kantin memakai angka tabel silang 18/30, 16/30, 10/30; hasil 24/30 tersederhanakan menjadi 4/5.
  3. Baris 11-13: contoh dua dadu; suku irisan 3/36 dikurangkan eksak sehingga hasilnya 21/36 = 7/12.
  4. Baris 15-17: inklusi-eksklusi tiga kejadian dihitung dengan bilangan bulat (banyak siswa) lalu dibagi 40 — 33/40 sudah dalam bentuk paling sederhana.

Rujukan penjumlahan peluang dengan notasi kejadian tersedia pada bab probabilitas OpenIntro Statistics dan PSU STAT 500 (https://www.openintro.org/book/os/ , https://online.stat.psu.edu/stat500/ ). Aturan penjumlahan menuntaskan pertanyaan “atau”, tetapi pertanyaan “dan” — berapa peluang A dan B terjadi bersamaan — membutuhkan alat yang berbeda, karena jawabannya bergantung pada apakah kejadian yang satu mengubah peluang kejadian yang lain. Aturan perkalian pada chapter berikutnya membedah kasus paling bersihnya: kejadian yang sama sekali tidak saling memengaruhi.