Notasi Sigma

Rumus statistika terlihat padat karena satu huruf Yunani: Σ (dibaca “sigma besar”) yang berarti “jumlahkan”. Mean, varians, dan standar deviasi semuanya ditulis ringkas memakai notasi ini, sehingga kegagalan membacanya membuat seluruh rumus pada section berikutnya terasa asing. Kabar baiknya, isi notasi sigma hanyalah penjumlahan yang sudah kita kuasai sejak sekolah dasar. Chapter ini membaca notasinya, membuktikan propertinya, lalu menutup dengan contoh perhitungan penuh yang diverifikasi dengan Python.

Membaca Notasi Sigma #

Bentuk umum notasi menuliskan batas bawah dan batas atas di sekitar Σ, dengan i sebagai indeks yang berjalan:

  n
  Σ x_i = x1 + x2 + x3 + ... + xn
  i=1

Cara membacanya: jumlahkan x_i untuk nilai i mulai dari 1 sampai n. Indeks i hanya penanda posisi — i=1 merujuk pengamatan pertama, i=2 merujuk pengamatan kedua, dan seterusnya hingga i=n. Saat batas sudah jelas dari konteks, penulisan sering dipersingkat menjadi Σx saja. Mean yang kelak kita hitung pada Section Statistika Deskriptif memakai bentuk persis ini, yaitu Σx / n.

Mengembangkan Penjumlahan #

Mengembangkan berarti menulis ulang Σ sebagai penjumlahan eksplisit. Untuk lima suku pertama bilangan asli, kedua bentuk berikut sama nilainya:

Σ i    (i=1..5) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5   = 15
Σ i²   (i=1..5) = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55

Perhatikan bahwa suku yang dijumlahkan mengikuti rumus di kanan Σ: ketika sukunya berupa i, kita menjumlahkan 1, 2, 3, 4, 5; ketika sukunya berupa i², kita menjumlahkan kuadrat masing-masing. Salah membaca suku inilah yang menyebabkan Σx² sering tertukar dengan (Σx)², perbedaan yang kita bahas dua subbab lagi. Sebagai latihan cepat, Σ (2i) untuk i=1..5 sama dengan 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 20.

Properti yang Mempermudah Perhitungan #

Tiga properti menghemat perhitungan panjang. Properti pertama menyatakan bahwa konstanta yang dijumlahkan n kali menghasilkan n kali konstanta itu; kedua, konstanta pengali boleh dikeluarkan dari Σ; ketiga, Σ boleh dipecah menjadi beberapa bagian:

Σ c           (i=1..n) = n × c
Σ (c × x_i)   (i=1..n) = c × Σ x_i
Σ (x_i + y_i) (i=1..n) = Σ x_i + Σ y_i

Contoh numeriknya singkat. Menjumlahkan konstanta 7 lima kali menghasilkan 5 × 7 = 35. Untuk data (2, 4, 6), Σ (3 × x_i) = 6 + 12 + 18 = 36, dan hasilnya sama dengan 3 × (2 + 4 + 6) = 3 × 12 = 36. Pemecahan juga bekerja: Σ i untuk i=1..5 dapat dipecah menjadi Σ i untuk i=1..2 ditambah Σ i untuk i=3..5, yaitu 3 + 12 = 15. Rangkuman notasi penjumlahan dan propertinya juga tersedia pada NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods di https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/ .

Σx² Bukan (Σx)² #

Dua notasi ini dibedakan hanya oleh posisi tanda pangkat, tetapi hasilnya sangat berbeda. Σx² berarti kuadratkan dulu setiap suku, lalu jumlahkan; (Σx)² berarti jumlahkan dulu semua suku, lalu kuadratkan hasilnya. Untuk data (1, 2, 3), kedua besaran tersebut berbeda jauh:

Σx²   = 1² + 2² + 3² = 1 + 4 + 9 = 14
(Σx)² = (1 + 2 + 3)² = 6²        = 36

Selisihnya 22 pada data kecil, dan selisih itu makin lebar pada data besar. Varians — yang kita temui pada Chapter Varians di Section Statistika Deskriptif — memakai bentuk Σ (x - mean)² di pembilangnya, sehingga tertukar dengan (Σx)² akan menghasilkan angka yang sama sekali salah. Saat menyalin rumus dengan tangan, biasakan menulis tanda kurung secara tegas dan menempatkan pangkat tepat pada suku yang dimaksud.

Contoh Numerik: Nilai Lima Siswa #

Sekarang kita hitung lengkap dengan data nilai ulangan lima siswa: 72, 85, 90, 68, dan 79. Tabel berikut mencatat setiap langkah hingga baris total:

Dari tabel tersebut kita membaca Σx = 394 dan Σx² = 31374, sedangkan (Σx)² = 394² = 155236 — perhatikan lagi betapa jauhnya 31374 dari 155236. Mean dari data ini adalah Σx / n = 394 / 5 = 78.8. Kedua besaran Σx² dan (Σx)² adalah bahan baku rumus varians pada Section Statistika Deskriptif, jadi biasakan menghitung keduanya sejak sekarang. Perhitungan di atas diperiksa dengan beberapa baris Python:

nilai = [72, 85, 90, 68, 79]

sigma_x = sum(nilai)
sigma_x2 = sum(x ** 2 for x in nilai)

print(f"Σx   = {sigma_x}")
print(f"Σx²  = {sigma_x2}")
print(f"(Σx)² = {sigma_x ** 2}")
print(f"mean = {sigma_x / len(nilai)}")

Output yang Dihasilkan:

Σx   = 394
Σx²  = 31374
(Σx)² = 155236
mean = 78.8

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 3 (sum(nilai)): function sum() menjumlahkan seluruh elemen list — persis makna Σx, hasilnya 394.
2. Baris 4 (sum(x ** 2 for x in nilai)): setiap elemen dikuadratkan lebih dulu sebelum dijumlahkan — persis makna Σx², hasilnya 31374.
3. Baris 8 (sigma_x ** 2): hasil penjumlahan dikuadratkan setelahnya — makna (Σx)², hasilnya 155236.
4. Baris 9 (sigma_x / len(nilai)): mean dihitung sebagai Σx / n dengan n = 5, hasilnya 78.8.

Dobel Sigma untuk Tabel Dua Arah #

Data dua arah memakai dua indeks dan dua tanda Σ. Notasi ΣΣ x_ij — dengan i menandai baris dan j menandai kolom — berarti jumlahkan semua sel, biasanya per baris dulu lalu hasilnya dijumlahkan lagi:

ΣΣ x_ij = Σ ( Σ x_ij ) = jumlah seluruh sel tabel

Contohnya, dua kelas melaporkan jumlah siswa yang memilih tiga kegiatan ekstrakurikuler:

Total baris 24 dan 21 berasal dari Σ per baris, sedangkan grand total 45 adalah Σ dari total baris sekaligus ΣΣ seluruh sel. Total per kolom kebetulan seragam 15, 15, dan 15 — itu kebetulan angka contoh, bukan sifat umum tabel dua arah. Pola penjumlahan berlapis inilah yang bekerja pada tabel frekuensi silang saat kita mengolah data kategorik. Bentuk perhitungannya di Python:

tabel = [
    [8, 6, 10],
    [7, 9, 5],
]

total_semua = 0
for baris in tabel:
    total_baris = sum(baris)
    total_semua += total_baris
    print(f"total baris = {total_baris}")
print(f"grand total = {total_semua}")

Output yang Dihasilkan:

total baris = 24
total baris = 21
grand total = 45

Mari kita bedah kode di atas:

1. Baris 6-9: loop luar mengambil setiap baris, sum() menghitung Σ per baris, lalu hasilnya dicetak dan ditambahkan ke total_semua.
2. Baris 10: grand total tercetak setelah loop selesai — nilai 45 sama dengan jumlah seluruh sel tabel.

Notasi sigma merapatkan penjumlahan, tetapi rumus statistika juga penuh pangkat: deviasi dikuadratkan pada varians, dan banyak data kependudukan tumbuh mengikuti pola berlipat. Chapter terakhir section ini, Eksponen dan Logaritma, melengkapi perkakas dasar kita sebelum masuk ke pengumpulan data yang sesungguhnya.