Array Identity dan Diagonal

Dalam aljabar linear, matriks identitas memegang peran seperti angka 1 pada perkalian biasa: matriks apa pun yang dikalikan identitas tetap menghasilkan dirinya sendiri. Struktur ini muncul di banyak tempat — sebagai nilai awal iterasi, penanda “tidak ada transformasi”, atau komponen perhitungan invers. NumPy menyediakan np.eye dan np.identity untuk membuatnya, serta np.diag yang bekerja dua arah: membangun matriks diagonal dari vector, atau mengambil vector diagonal dari matriks.

Bab ini membahas:

• Membuat matriks identitas dengan np.eye dan np.identity.
• Perilaku ganda np.diag untuk membangun dan mengambil diagonal.
• Menggunakan identitas pada perkalian matriks dengan operator @.

eye dan identity: matriks identitas #

Fungsi np.eye(n) menghasilkan matriks n × n bernilai satu pada diagonal utama dan nol di luar diagonal. Fungsi np.identity(n) menghasilkan hal yang sama:

import numpy as np

i3 = np.eye(3)
print(i3)
print("identity sama dengan eye:", np.array_equal(np.identity(3), i3))

Output yang Dihasilkan:

[[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]
identity sama dengan eye: True

1. Baris 3 (np.eye(3)): matriks 3 × 3 dengan diagonal utama berisi satu; nilai lainnya nol.
2. Baris 5 (np.array_equal(...)): np.identity(3) menghasilkan matriks yang persis sama, sehingga perbandingannya bernilai True. Keduanya terpisah hanya karena alasan historis; np.eye lebih umum karena menerima parameter tambahan.

Perhatikan bahwa hasilnya bertipe float64 (angka 1. dengan tanda titik). np.eye juga menerima parameter k untuk menggeser posisi diagonal: np.eye(3, k=1) menaruh angka satu pada diagonal tepat di atas diagonal utama.

diag: dua arah dalam satu fungsi #

Fungsi np.diag menyesuaikan diri dengan masukannya. Diberikan vector 1-D, np.diag membangun matriks diagonal; diberikan matriks 2-D, fungsi yang sama justru mengambil diagonal utamanya:

import numpy as np

v = np.array([2, 7, 4])
d = np.diag(v)
print(d)
m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print(np.diag(m))

Output yang Dihasilkan:

[[2 0 0]
 [0 7 0]
 [0 0 4]]
[1 5 9]

1. Baris 3-4 (np.diag(v)): vector [2 7 4] menjadi diagonal utama; seluruh posisi lain diisi nol, menghasilkan matriks 3 × 3.
2. Baris 6 (np.diag(m)): arah sebaliknya — fungsi membaca diagonal utama matriks dan mengembalikan array 1-D [1 5 9].
3. Nilai kembaliannya berbeda bentuk: satu panggilan menghasilkan matriks, panggilan lainnya menghasilkan vector; NumPy menentukannya dari ndim argumen.

Identitas pada perkalian matriks #

Operator @ mengalikan dua matriks. Mengalikan matriks apa pun dengan identitas berukuran cocok akan mengembalikan matriks aslinya:

import numpy as np

A = np.array([[3, 1], [2, 4]])
hasil = A @ np.eye(2)
print(hasil)
print("hasil sama dengan A:", np.array_equal(hasil, A))

Output yang Dihasilkan:

[[3. 1.]
 [2. 4.]]
hasil sama dengan A: True

1. Baris 4 (A @ np.eye(2)): perkalian matriks 2 × 2 dengan identitas 2 × 2.
2. Baris 6 (print(hasil)): nilainya sama dengan A, tetapi tampil dengan tanda titik karena identitas bertipe float64 dan hasil perkalian mengikuti tipe yang lebih umum.
3. Baris 7 (np.array_equal(hasil, A)): perbandingan nilai menghasilkan True — array_equal membandingkan nilai, bukan dtype.

Tabel berikut merangkum ketiga fungsi pada bab ini: