Simulasi Monte Carlo

Monte Carlo adalah strategi mengestimasi nilai yang sulit dihitung langsung: jalankan percobaan acak berkali-kali, lalu ambil rata-ratanya. Nama ini diambil dari kota kasino yang terkenal — sama seperti permainan judi, hasil satu kali lemparan tidak bisa diprediksi, tetapi rata-rata ribuan lemparan sangat bisa dihitung.

Semua yang kita butuhkan sudah ada di bab-bab sebelumnya: angka acak ber-seed dari Generator (Chapter Reproducibility dan Random Seed), rng.integers() (Chapter Random Integer dan Sampling), dan rng.random() yang berdistribusi uniform (Chapter Uniform Distribution). Pola kerjanya selalu sama: banyak percobaan → kumpulkan hasil → hitung rata-rata atau proporsi.

Ide Inti: Rata-rata dari Banyak Percobaan #

Bentuk paling sederhana: mengestimasi rata-rata lemparan dadu. Nilai eksaknya mudah dihitung (3,5), sehingga cocok sebagai alat kontrol — kita tahu seberapa dekat estimasi seharusnya:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
lemparan = rng.integers(1, 7, size=1_000_000)
print("Rata-rata simulasi :", round(float(lemparan.mean()), 3))
print("Nilai eksak teori  :", (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6)

Output yang Dihasilkan:

Rata-rata simulasi : 3.498
Nilai eksak teori  : 3.5

Satu juta lemparan memberi rata-rata 3,498 — meleset hanya 0,002 dari nilai eksak. Perhatikan bahwa satu lemparan tidak mungkin menghasilkan 3,5; hanya agregasi banyak lemparan yang bisa menyentuhnya.

Mengestimasi pi #

Sekarang estimasi yang eksaknya tidak mudah: nilai pi. Gambarnya seperti ini: titik-titik acak disebar merata di persegi satuan, lalu kita hitung berapa banyak yang jatuh di dalam seperempat lingkaran berjari-jari 1. Karena luas seperempat lingkaran adalah π/4 dan luas persegi adalah 1, proporsi titik di dalam lingkaran mendekati π/4 — kalikan 4 dan pi terestimasi.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
n = 100_000
x = rng.random(n)
y = rng.random(n)
di_lingkaran = np.count_nonzero(x**2 + y**2 <= 1.0)
estimasi = 4 * di_lingkaran / n
print("Titik dalam seperempat lingkaran :", di_lingkaran)
print(f"Estimasi pi                      : {estimasi:.4f}")

Output yang Dihasilkan:

Titik dalam seperempat lingkaran : 78444
Estimasi pi                      : 3.1378

Bedah baris demi baris:

1. Baris 5-6 (x = rng.random(n), y = rng.random(n)): seratus ribu koordinat (x, y) disebar uniform di persegi [0, 1) × [0, 1); dua array ini adalah “lemparan” kita.
2. Baris 7 (di_lingkaran = np.count_nonzero(...)): x**2 + y**2 <= 1.0 menguji jarak titik dari pusat — satu syarat lingkaran berjari-jari 1; count_nonzero menghitung berapa titik yang lulus uji, di sini 78.444.
3. Baris 8 (estimasi = 4 * di_lingkaran / n): proporsi 0,78444 dikalikan 4, menghasilkan estimasi 3,1378 — hanya meleset sekitar 0,004 dari pi (3,14159…).

Estimasi ini deterministik: dengan seed 42 dan n = 100000, angka 3,1378 akan muncul lagi di setiap eksekusi. Tanpa seed, angkanya sedikit berganti tiap kali dijalankan.

Melihat Konvergensi #

Teori Monte Carlo menjanjikan estimasi yang makin baik saat jumlah percobaan bertambah. Kita buktikan dengan mengulang estimasi pi pada tiga ukuran sampel:

import numpy as np

def estimasi_pi(n, seed=42):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    x = rng.random(n)
    y = rng.random(n)
    return 4 * np.count_nonzero(x**2 + y**2 <= 1.0) / n

for n in [1_000, 10_000, 100_000]:
    print(f"n = {n:>7} -> estimasi pi = {estimasi_pi(n):.4f}")

Output yang Dihasilkan:

n =    1000 -> estimasi pi = 3.1480
n =   10000 -> estimasi pi = 3.1488
n =  100000 -> estimasi pi = 3.1378

Bedah baris demi baris:

1. Baris 3 (def estimasi_pi(n, seed=42)): seluruh langkah estimasi dikemas dalam satu fungsi, sehingga tiga ukuran sampel diuji dengan logika yang persis sama.
2. Baris 4-7: isi fungsi mengulang pola pada contoh sebelumnya — buat Generator ber-seed, sebar n titik (x, y), hitung proporsi yang berada di dalam seperempat lingkaran, lalu kalikan 4.
3. Baris 9-10 (for n in [...]): fungsi dipanggil tiga kali dengan n membesar 10 kali lipat di tiap tahap; format {n:>7} meratakan angka ke kanan agar kolom output sejajar.

Dibandingkan dengan pi = 3,141593, hasilnya bisa dirangkum:

Baris n = 100000 bernilai 3,1378, persis seperti estimasi pada contoh sebelumnya — keduanya memakai seed dan pola pembangkitan yang sama.

Kapan Monte Carlo Cocok Dipakai #

Satu hal perlu dipegang sejak awal: Monte Carlo menghasilkan estimasi yang mendekati nilai sebenarnya, bukan nilai eksak. Metode ini layak dipakai ketika jalur eksak tersendat:

• Nilai yang dicari melibatkan integral atau geometri rumit yang sulit dirumuskan eksak — contoh halus di atas adalah estimasi pi.
• Sistem terdiri dari banyak komponen acak yang berinteraksi (antrean call center, pergerakan harga, penyebaran sinyal noise).
• Kita butuh jawaban cepat untuk menguji dugaan, sebelum menulis analisis matematis yang ketat.

Sebaliknya, bila rumus eksaknya sederhana — seperti rata-rata dadu di awal bab — pakai rumusnya langsung; Monte Carlo adalah alat untuk kasus ketika rumus itu tidak tersedia. Estimasi 3,1378 bukan angka yang mengecewakan: dengan seratus ribu titik dan lima baris NumPy, kita mendekati pi tanpa satu pun rumus integral.