Distribusi Eksponensial, Gamma, Beta

Bab Distribusi Uniform memperkenalkan sebaran yang merata di dalam sebuah rentang, dan Normal Distribution memperkenalkan sebaran lonceng yang simetris. Keduanya mengizinkan nilai negatif. Padahal banyak kuantitas nyata tidak pernah negatif: waktu antar kedatangan pelanggan, total waktu menunggu, maupun proporsi campuran bahan. Untuk kebutuhan itu Generator menyediakan tiga method bertetangga: exponential(), gamma(), dan beta().

Bab ini memakai pola yang sama dengan bab-bab lain pada section ini: setiap Generator dibuat dengan np.random.default_rng(seed) agar output dapat direproduksi, lalu sampel berukuran besar dijadikan bahan uji empiris terhadap mean teoretis. Ketiga distribusi juga saling terkait: gamma adalah penjumlahan beberapa eksponensial, dan eksponensial adalah pasangan kontinu dari Poisson pada Binomial dan Poisson Distribution.

Waktu Antar Kedatangan dengan rng.exponential #

Bayangkan kasir minimarket yang rata-rata dilalui satu pelanggan setiap dua menit. Jarak waktu antara dua pelanggan berturut-turut tidak selalu dua menit — bisa 30 detik, bisa juga lima menit — tetapi sebarannya punya pola khas: makin lama jeda, makin jarang terjadi. Pola itu dimodelkan distribusi eksponensial dengan satu parameter scale, dan sifat pentingnya sederhana: scale adalah mean sebaran tersebut.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
jeda = rng.exponential(scale=2.0, size=100_000)
print(jeda[:5].round(2))
print("mean sampel  :", round(float(jeda.mean()), 3))
print("mean teoretis:", 2.0)

Output yang Dihasilkan:

[4.81 4.67 4.77 0.56 0.17]
mean sampel  : 2.007
mean teoretis: 2.0

Bedah baris demi baris:

1. Baris 4 (rng.exponential(scale=2.0, size=100_000)): method membangkitkan 100.000 jeda antar kedatangan dengan mean 2,0 menit per kedatangan; hasilnya array float64.
2. Baris 5 (jeda[:5].round(2)): hanya lima sampel pertama yang dicetak — ribuan angka mentah tidak nyaman dibaca, dan pembulatan dua desimal sudah cukup untuk menangkap besaran nilainya.
3. Baris 6-7: mean sampel 2,007 hanya melenceng 0,007 menit dari scale=2.0; semakin besar size, selisihnya makin kecil.

Waktu Tunggu ke-k Kedatangan dengan rng.gamma #

Kasir pada contoh tadi baru boleh istirahat setelah pelanggan ketiga datang. Berapa total waktu menunggu sampai kedatangan ketiga? Jawabannya adalah penjumlahan tiga jeda antar kedatangan — dan jumlah dari k variabel eksponensial berdistribusi gamma dengan shape=k. Karena tiap eksponensial bermean scale, mean gammanya adalah shape * scale.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
eksp = rng.exponential(scale=2.0, size=(50_000, 3))
tunggu_sum = eksp.sum(axis=1)
tunggu_gamma = rng.gamma(shape=3, scale=2.0, size=50_000)
print("sum 3 eksponensial:", round(float(tunggu_sum.mean()), 3))
print("gamma(3, 2.0)     :", round(float(tunggu_gamma.mean()), 3))
print("contoh gamma [:5] :", tunggu_gamma[:5].round(2))

Output yang Dihasilkan:

sum 3 eksponensial: 6.01
gamma(3, 2.0)     : 6.006
contoh gamma [:5] : [ 6.66  3.99  7.79  4.27 10.33]

Bedah baris demi baris:

1. Baris 5 (rng.exponential(scale=2.0, size=(50_000, 3))): membuat 50.000 baris; tiap baris memuat tiga jeda antar kedatangan milik satu skenario.
2. Baris 6 (eksp.sum(axis=1)): penjumlahan sepanjang axis=1 merapat tiap baris menjadi satu total — waktu menunggu sampai kedatangan ketiga.
3. Baris 7 (rng.gamma(shape=3, scale=2.0, size=50_000)): membangkitkan kuantitas yang sama secara langsung. Mean keduanya, 6,01 dan 6,006, mendekati teori 3 * 2.0 = 6.0.

Distribusi gamma adalah versi umum dari eksponensial: shape=1 mengembalikan eksponensial biasa, sedangkan shape pecahan diperbolehkan untuk kuantitas akumulatif lain seperti curah hujan harian.

Proporsi dengan rng.beta #

Eksponensial dan gamma menghasilkan bilangan positif tanpa batas atas. Sebaliknya, rng.beta(a, b) menghasilkan nilai di antara 0 dan 1, sehingga tepat untuk proporsi. Contoh: sebuah iklan mendapat 10 klik dengan 2 konversi. Proporsi konversi yang sesungguhnya tidak diketahui pasti; beta(a=2, b=8) membangkitkan nilai proporsi yang masuk akal, terpusat di sekitar 2/(2+8) = 0.2. Pola yang sama dipakai untuk proporsi bahan campur, misalnya rancangan 2 kg arabika terhadap 8 kg robusta pada racikan kopi.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
proporsi = rng.beta(a=2.0, b=8.0, size=100_000)
print(proporsi[:5].round(2))
print("mean sampel  :", round(float(proporsi.mean()), 3))
print("mean teoretis:", 0.2)

Output yang Dihasilkan:

[0.17 0.19 0.28 0.21 0.3 ]
mean sampel  : 0.2
mean teoretis: 0.2

Dua argumen a dan b bekerja seperti “bobot keberhasilan” dan “bobot kegagalan”: a=2 yang kecil membuat sampel condong ke nilai rendah, sementara b=8 menekan sebaran ke arah 0. Bila perannya dibalik — a=8, b=2 — pusat sebaran berpindah mendekati 0,8.

Tabel Ringkas dan Uji Mean Empiris #

Satu blok terakhir merangkum verifikasi mean sampel terhadap mean teoretis untuk ketiganya sekaligus:

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
kasus = [
    ("exponential(2.0)", rng.exponential(2.0, 100_000), 2.0),
    ("gamma(3, 2.0)", rng.gamma(3, 2.0, 100_000), 6.0),
    ("beta(2, 8)", rng.beta(2.0, 8.0, 100_000), 0.2),
]
for nama, sampel, teori in kasus:
    print(f"{nama:18s} mean sampel={round(float(sampel.mean()), 3)}  teori={teori}")

Output yang Dihasilkan:

exponential(2.0)   mean sampel=2.007  teori=2.0
gamma(3, 2.0)      mean sampel=6.003  teori=6.0
beta(2, 8)         mean sampel=0.2  teori=0.2

Ketiga mean sampel berlabuh di dekat nilai teoretisnya — bukti bahwa parameter yang kita berikan memang mengendalikan pusat sebaran. Ketiga method ini selalu mengembalikan float64; bila kebutuhannya bilangan bulat acak, gunakan method pada Random Integer dan Sampling. Kombinasi ketiganya dengan sampel normal membuka banyak skenario simulasi, mulai dari antrean hingga pemodelan proporsi.