Sampling

Menanyakan kepuasan seluruh pelanggan toko di Indonesia artinya menjangkau jutaan orang — mahal, lambat, dan sering mustahil. Sampling menyelesaikannya: ukur sebagian, lalu tarik kesimpulan tentang keseluruhan, lengkap dengan ukuran ketidakpastiannya. Dua pertanyaan mengendalikan seluruh chapter: bagaimana memilih anggota sampel agar tidak bias, dan bagaimana mengukur seberapa jauh statistik sampel bisa meleset dari populasi. Cakupan materinya:

• Populasi vs sampel, dan standard error std/sqrt(n)
• Simple random sampling dengan randperm
• Systematic dan stratified sampling
• Bootstrap: sebaran statistik dari data itu sendiri

Populasi, Sampel, dan Standard Error #

Statistik sampel — mean, median, proporsi — adalah estimasi, bukan kebenaran populasi; estimasi yang diambil ulang akan bergeser. Mekanismenya: besar pergeseran itu diatur standard error (se), yang untuk mean bernilai s/√n dengan s simpangan baku sampel. Semakin bervariasi populasi, semakin besar galat; semakin besar sampel, semakin kecil galatnya. Kita ukur pada durasi sepuluh kunjungan pelanggan:

durasi = [12 18 15 22 25 14 20 17 19 16];   % menit
n = numel(durasi);
fprintf('n    = %d\n', n);
fprintf('mean = %.4f menit\n', mean(durasi));
fprintf('std  = %.4f menit\n', std(durasi));
fprintf('se   = %.4f menit\n', std(durasi)/sqrt(n));

Output yang Dihasilkan:

n    = 10
mean = 17.8000 menit
std  = 3.8816 menit
se   = 1.2275 menit

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 1 (durasi = ...): sampel 10 kunjungan; mean 17.8 menit adalah estimasi mean populasi.
2. Baris 5 (std(durasi)/sqrt(n)): se = 3.8816/√10 = 1.2275 — perkiraan seberapa jauh mean sampel lain akan berayun.
3. Implikasi praktisnya: mean populasi diperkirakan berada di sekitar 17.8 ± 2×1.23 — aturan dua-sigma yang menjadi dasar Chapter Confidence Interval.

Bagaimana ukuran sampel memengaruhi galat? Kurva se = s/√n menjawabnya:

s = std(durasi);
for nn = [10 40 160 640]
  fprintf('n = %3d -> se = %.4f\n', nn, s/sqrt(nn));
end

Output yang Dihasilkan:

n =  10 -> se = 1.2275
n =  40 -> se = 0.6137
n = 160 -> se = 0.3069
n = 640 -> se = 0.1534

Empat kali lipat data hanya memangkas separuh galat — itulah harga √n. Survei nasional dengan “margin of error” kecil memang membutuhkan ribuan responden.

Simple Random Sampling #

Cara paling jujur mengambil sampel: setiap anggota populasi berpeluang sama terpilih. Mekanismenya di MATLAB: randperm(N, n) menghasilkan n indeks unik dari 1..N — sampling tanpa penggantian — lalu indeks itu memilih anggota populasi.

populasi = [55 58 60 62 64 65 67 68 70 71 73 74 ...
            75 77 79 80 82 84 86 90];          % skor kepuasan 20 toko
idx = randperm(numel(populasi), 6);
sampel = populasi(idx);
fprintf('terpilih %d dari %d toko\n', numel(sampel), numel(populasi));
fprintf('mean sampel   : %.4f\n', mean(sampel));
fprintf('mean populasi : %.4f\n', mean(populasi));

Indeks idx dan mean sampel berganti nilai pada setiap eksekusi — itulah hakikat pengambilan acak — sehingga blok output hanya menampilkan baris yang stabil:

Output yang Dihasilkan:

terpilih 6 dari 20 toko
mean populasi : 72.0000

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 1-2 (populasi = ...): 20 skor kepuasan sebagai populasi mini — mean populasi 72.0000 adalah angka acuan yang ingin diperkirakan.
2. Baris 3 (randperm(20, 6)): 6 indeks berbeda; setiap himpunan 6-toko berpeluang sama, definisi simple random sampling.
3. Baris 5 (mean(sampel)): bergantung pada indeks terundi — bandingkan nilainya dengan 72 tiap kali dijalankan; kadang lebih tinggi, kadang lebih rendah.

Systematic Sampling #

Cara lain yang lebih murah: pilih setiap anggota ke-k setelah titik awal. Mekanismenya: interval k = N/n dihitung dari target ukuran sampel, lalu indeks berjalan 1, 1+k, 1+2k, … — penuh determinisme tanpa angka acak.

k = 4;                             % interval: setiap toko ke-4
idx = 1:k:numel(populasi);         % mulai dari toko pertama
sys = populasi(idx);
for t = 1:numel(idx)
  fprintf('tarikan %d: toko indeks %d, skor %g\n', t, idx(t), sys(t));
end
fprintf('mean sampel sistematik : %.4f\n', mean(sys));
fprintf('mean populasi          : %.4f\n', mean(populasi));

Output yang Dihasilkan:

tarikan 1: toko indeks 1, skor 55
tarikan 2: toko indeks 5, skor 64
tarikan 3: toko indeks 9, skor 70
tarikan 4: toko indeks 13, skor 75
tarikan 5: toko indeks 17, skor 82
mean sampel sistematik : 69.2000
mean populasi          : 72.0000

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 1 (k = 4): populasi 20 dibagi target 5 sampel menghasilkan interval 4.
2. Baris 2 (1:k:20): operator rentang menghasilkan indeks [1 5 9 13 17] — terdeterminasi penuh, hasil identik tiap eksekusi.
3. Baris 8: mean sistematik 69.2 meleset 2.8 poin dari populasi — tanpa unsur acak, satu-satunya “keberuntungan” adalah titik awal 1.

Stratified Sampling #

Populasi sering terdiri dari kelompok yang berbeda karakter — dan SRS bisa saja tidak mengambil satu pun anggota kelompok minoritas. Solusinya: belah populasi menjadi stratum, lalu ambil sampel dari masing-masing kelompok secara proporsional. Mekanismenya: alokasi n×(ukuran stratum/N) anggota per stratum, masing-masing dipilih dengan randperm.

reguler = [55 60 62 65 68 70 72 75 78 80 82 85];  % 12 toko reguler
premium = [78 82 85 88 90 92 95 98];              % 8 toko premium
nSampel = 10;
nReg = round(nSampel * numel(reguler) / 20);      % alokasi proporsional
nPre = nSampel - nReg;
fprintf('alokasi: %d reguler + %d premium = %d toko\n', nReg, nPre, nSampel);
idxR = randperm(numel(reguler), nReg);
idxP = randperm(numel(premium), nPre);
fprintf('mean populasi reguler : %.4f\n', mean(reguler));
fprintf('mean populasi premium : %.4f\n', mean(premium));

Output yang Dihasilkan:

alokasi: 6 reguler + 4 premium = 10 toko
mean populasi reguler : 71.0000
mean populasi premium : 88.5000

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 3-4 (nReg, nPre): 10 × 12/20 = 6 kursi untuk toko reguler dan 4 untuk premium — komposisi sampel meniru komposisi populasi.
2. Baris 6-7 (randperm per stratum): pengacakan berjalan terpisah per kelompok; idxR dan idxP berganti tiap eksekusi.
3. Baris 8-9: kedua stratum terpisah 17.5 poin — informasi yang akan terhapus jika kedua kelompok dilebur jadi satu angka rata-rata.

Bootstrap: Ketidakpastian Tanpa Rumus #

Kita sudah memakai rumus se = s/√n untuk mean. Tetapi bagaimana mengukur ketidakpastian median, atau rasio, atau statistik apa pun yang rumus galatnya tidak tersedia? Bootstrap menjawab: perlakukan sampel sebagai populasi mini, lalu resample dengan penggantian berkali-kali dan amati sebaran statistiknya.

sampel12 = [52 55 58 60 63 65 67 70 72 75 78 82];  % skor kepuasan 12 toko
B = 2000;
nB = numel(sampel12);
bootMean = zeros(B, 1);
for b = 1:B
  idxB = randi(nB, nB, 1);          % indeks boleh berulang
  bootMean(b) = mean(sampel12(idxB));
end
ci = quantile(bootMean, [0.025 0.975]);
fprintf('mean sampel         : %.4f\n', mean(sampel12));
fprintf('se teori (s/sqrt n) : %.4f\n', std(sampel12)/sqrt(nB));
fprintf('se bootstrap        : %.4f\n', std(bootMean));
fprintf('CI 95 persen        : [%.4f, %.4f]\n', ci(1), ci(2));

Output yang Dihasilkan:

mean sampel         : 66.4167
se teori (s/sqrt n) : 2.6953
se bootstrap        : 2.6021
CI 95 persen        : [61.5000, 71.5000]

Angka se bootstrap dan CI pada blok di atas bergeser sedikit pada tiap eksekusi karena resampling memakai randi; berkas contoh.m menyetel rng(42) di baris pertama sehingga nilainya dapat direproduksi di engine yang sama (di MATLAB angkanya sedikit berbeda). Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 4 (zeros(B,1)): 2000 hasil disiapkan — bootstrap adalah eksperimen berulang, bukan satu hitungan.
2. Baris 6 (randi(nB, nB, 1)): 12 indeks dari 1..12 dengan penggantian — resample berukuran sama dengan sampel asli; beberapa toko muncul dua kali, yang lain absen.
3. Baris 10 (quantile(bootMean, [.025 .975])): memotong 2.5% ekor kiri dan kanan sebaran bootstrap — interval 95% untuk mean populasi.
4. Hasilnya: se bootstrap 2.60 dekat dengan rumus teori 2.70 — bootstrap menemukan kembali rumus yang sudah kita kenal, dan itulah alasan memercayainya untuk statistik yang rumusnya tidak ada.

Alur Pemilihan Metode #

Diagram ini membaca dari atas ke bawah: populasi masuk, metode pemilihan ditentukan struktur datanya (acak murni, pola interval, atau kelompok heterogen), statistik dihitung, lalu ketidakpastian dilengkapi lewat rumus atau bootstrap sebelum dilaporkan.

Tabel Perbandingan Metode #

Berkas contoh.m menjalankan keempat metode berurutan: standard error, SRS, systematic, stratified, lalu bootstrap 2000 resample.

Ringkasan #

Sampling menjembatani sampel dan populasi: SRS memberi peluang sama lewat randperm, systematic memangkas biaya dengan interval tetap, dan stratified menjaga kelompok minoritas tetap terwakili. Ketidakpastian estimasi diukur standard error s/√n — yang hanya membaik sebanding akar ukuran sampel — atau oleh bootstrap ketika rumus tidak tersedia. Setelah estimasi dan galatnya lengkap, pertanyaan berikutnya adalah apakah pola antar variabel nyata: itu materi Chapter Korelasi.