Distribusi Probabilitas

Berapa peluang pelanggan berikutnya menunggu lebih dari lima menit? Berapa banyak stok yang cukup untuk 95% permintaan? Pertanyaan peluang seperti ini tidak dijawab data saja — kita membutuhkan model distribusi yang menghubungkan nilai dengan peluangnya. Model distribusi juga menjadi bahan baku seluruh section ini: pengujian hipotesis dan confidence interval keduanya membaca peluang dari kurva. Cakupan chapter ini:

• Kosakata peluang: pdf, cdf, dan inverse cdf
• Distribusi normal — pdf dan cdf dari rumus manual
• z-score dan standardisasi data
• Distribusi uniform dan binomial
• Empirical cdf langsung dari data

Kosakata Peluang: pdf, cdf, dan inverse cdf #

Tiga istilah ini muncul di semua distribusi, jadi kita hafalkan fungsinya dulu. Probability density function (pdf) menjawab “seberapa padat peluang di sekitar nilai x”. Cumulative distribution function (cdf) menjawab “berapa peluang X ≤ x”. Inverse cdf bekerja ke arah sebaliknya: “nilai x berapa sehingga P(X ≤ x) = p?” — misalnya batas nilai yang memotong 5% terbawah data.

Distribusi Normal: pdf dan cdf Manual #

Distribusi normal ditentukan dua parameter: mean mu dan simpangan baku sigma. Mekanismenya: pdf menghitung kurva lonceng eksponensial, sedangkan cdf memakai fungsi galat erf — fungsi bawaan yang menghitung luas di bawah kurva normal standar. Kita uji pada model tinggi badan: mu = 170 cm, sigma = 8 cm.

mu = 170; sigma = 8;                 % tinggi badan (cm)
x  = [150 160 170 180 190];
pdf = exp(-((x - mu).^2) / (2*sigma^2)) / (sigma*sqrt(2*pi));
cdf = 0.5 * (1 + erf((x - mu) / (sigma*sqrt(2))));
for k = 1:numel(x)
  fprintf('x = %d : pdf = %.6f, cdf = %.6f\n', x(k), pdf(k), cdf(k));
end

Output yang Dihasilkan:

x = 150 : pdf = 0.002191, cdf = 0.006210
x = 160 : pdf = 0.022831, cdf = 0.105650
x = 170 : pdf = 0.049868, cdf = 0.500000
x = 180 : pdf = 0.022831, cdf = 0.894350
x = 190 : pdf = 0.002191, cdf = 0.993790

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 3 (pdf = ...): rumus kurva lonceng — pembagi sigma*sqrt(2*pi) memastikan total luas di bawah kurva tepat 1.
2. Baris 4 (cdf = ...): erf menerima input ternormalisasi (x-mu)/sigma; puncak kurva menghasilkan cdf = 0.5.
3. Baris 5-7 (loop fprintf): ketiga argumen skalar — x(k), pdf(k), cdf(k) — dicetak satu baris per nilai.

Pembacaan hasilnya: cdf di 170 tepat 0.5 (median sama dengan mu), dan P(160 < X ≤ 180) = 0.894350 − 0.105650 = 0.7887 — sekitar 79% populasi berada dalam ±10 cm dari rata-rata.

Standarisasi dan z-score #

Nilai mentah sulit dibandingkan antar skala: nilai 70 ujian berbeda maknanya jika std kelasnya 5 atau 15. Solusinya: standarisasi — mengubah data menjadi jarak dalam satuan simpangan baku dari mean. Mekanismenya: z = (x − mean)/std; data hasil standarisasi selalu ber-mean 0 dan ber-std 1.

data = [62 65 70 72 78 81];           % nilai ujian
z = (data - mean(data)) / std(data);
fprintf('mean = %.4f, std = %.4f\n', mean(data), std(data));
for k = 1:numel(data)
  fprintf('nilai %g -> z = %.4f\n', data(k), z(k));
end
fprintf('mean(z) = %.6f, std(z) = %.6f\n', mean(z), std(z));

Output yang Dihasilkan:

mean = 71.3333, std = 7.3121
nilai 62 -> z = -1.2764
nilai 65 -> z = -0.8661
nilai 70 -> z = -0.1823
nilai 72 -> z = 0.0912
nilai 78 -> z = 0.9117
nilai 81 -> z = 1.3220
mean(z) = 0.000000, std(z) = 1.000000

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 2 (z = ...): setiap nilai dikurangi mean lalu dibagi std — operasi per elemen pada vektor.
2. Baris 3-6 (loop): nilai 62 berjarak 1.28 simpangan baku di bawah mean — posisi yang jauh lebih informatif daripada angka mentahnya.
3. Baris 7 (mean(z), std(z)): bukti standardisasi — rata-rata tepat nol dan simpangan baku tepat satu.

Nilai z juga menjadi jembatan ke tabel normal standar: z-score adalah posisi data pada distribusi normal dengan mu = 0, sigma = 1, sehingga cdf bisa dihitung dengan rumus di atas tanpa mengubah mu dan sigma.

Inverse cdf: Dari Peluang ke Batas Nilai #

Masalah nyatanya sering terbalik: kita tahu peluangnya dan mencari batas nilainya. Produsen pakaian, misalnya, ingin tahu batas 5% terpendek untuk menentukan ukuran S. Mekanismenya: erfinv adalah kebalikan erf, jadi rumus normal tinggal dibalik.

p = [0.05 0.25 0.50 0.75 0.95];
q = mu + sigma*sqrt(2)*erfinv(2*p - 1);
for k = 1:numel(p)
  fprintf('p = %.2f -> x = %.4f\n', p(k), q(k));
end

Output yang Dihasilkan:

p = 0.05 -> x = 156.8412
p = 0.25 -> x = 164.6041
p = 0.50 -> x = 170.0000
p = 0.75 -> x = 175.3959
p = 0.95 -> x = 183.1588

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 2 (2*p - 1): erfinv bekerja pada domain [−1, 1], sedangkan peluang hidup di [0, 1]; transformasi ini memindahkan domainnya.
2. Baris 2 (mu + sigma*sqrt(2)*...): kebalikan rumus cdf — hasil p = 0.5 jatuh tepat di mu = 170.
3. Baris 3-5 (loop): kuartil model — batas 5% terpendek 156.84 cm, 5% tertinggi di atas 183.16 cm.

Distribusi Uniform dan Binomial #

Distribusi uniform membagi peluang secara rata pada interval [a, b]: pdf-nya konstan 1/(b−a), dan peluang sebuah rentang cukup panjang rentang dibagi lebar interval. Distribusi binomial menghitung jumlah sukses dari n percobaan berpeluang sama p — pmf-nya dihitung dari koefisien kombinasi nchoosek, yang tersedia di inti MATLAB.

% Uniform pada [2, 6]
a = 2; b = 6;
fprintf('pdf uniform [2,6] : %.4f\n', 1/(b-a));
fprintf('P(3 <= X <= 4.5)  : %.4f\n', (4.5 - 3)/(b - a));

% Binomial: 5 pengunjung, peluang konversi 0.3
n = 5; pk = 0.3;
for k = 0:n
  pmf = nchoosek(n, k) * pk^k * (1-pk)^(n-k);
  fprintf('P(X = %d) = %.6f\n', k, pmf);
end

Output yang Dihasilkan:

pdf uniform [2,6] : 0.2500
P(3 <= X <= 4.5)  : 0.3750
P(X = 0) = 0.168070
P(X = 1) = 0.360150
P(X = 2) = 0.308700
P(X = 3) = 0.132300
P(X = 4) = 0.028350
P(X = 5) = 0.002430

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 3 (P(3 <= X <= 4.5)): panjang rentang 1.5 dibagi lebar interval 4 → peluang 0.375 — tanpa integral karena pdf-nya konstan.
2. Baris 8-10 (pmf = ...): nchoosek(5, k) menghitung banyaknya susunan k sukses dari 5 percobaan; peluangnya dikali pk^k * (1-pk)^(5-k).
3. Hasil loop: modus berada di X = 1 (peluang 0.36) — dengan konversi 30%, satu dari lima pengunjung adalah hasil paling wajar.

Binomial adalah distribusi diskrit: pmf memberi peluang langsung pada tiap titik, bukan luas di bawah kurva. Seluruh peluang X = 0 hingga X = 5 berjumlah tepat 1 — berkas contoh.m membuktikannya dengan menjumlahkan seluruh pmf.

Empirical cdf dari Data #

Model parametrik mengandaikan bentuk distribusi diketahui. Ketika asumsi itu tidak kita mau, data sendiri bisa menjadi distribusinya: empirical cdf naik sebesar 1/N pada setiap titik data terurut.

xs = sort(data);               % data dari section z-score
N = numel(xs);
for k = 1:N
  fprintf('F(%g) = %.4f\n', xs(k), k/N);
end

Output yang Dihasilkan:

F(62) = 0.1667
F(65) = 0.3333
F(70) = 0.5000
F(72) = 0.6667
F(78) = 0.8333
F(81) = 1.0000

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

1. Baris 1 (sort(data)): urutan wajib — cdf hanya naik; titik terkecil mendapat peluang kumulatif pertama.
2. Baris 4 (k/N): setiap data “memegang” peluang 1/6 ≈ 0.1667; nilai 70 adalah nilai terkecil dengan F ≥ 0.5 — median empiris.

Median yang dibahas di Chapter Statistik Deskriptif ternyata adalah pembacaan inverse cdf pada p = 0.5 — dua kosakata itu bertemu di sini.

Tabel Distribusi dan Fungsinya #

Berkas contoh.m menjalankan seluruh tabel: kurva normal, inverse cdf, standardisasi, uniform, binomial, dan empirical cdf.

Ringkasan #

Model distribusi mengubah pertanyaan peluang menjadi perhitungan: pdf menunjukkan kepadatan, cdf memberi P(X ≤ x), dan inverse cdf mencari batas dari peluang. Distribusi normal dihitung dari rumus eksponensial dan erf tanpa toolbox; z-score menstandarisasi data ke satuan simpangan baku; uniform dan binomial menangani kasus rata dan kasus hitung-sukses. Ketika bentuk distribusi tidak mau diasumsikan, empirical cdf membaca peluang langsung dari data. Angka acak dari model distribusi ini menjadi alat simulasi berikutnya: Chapter Random Number Generation.