Laporan “rata-rata sampel 250.02 gram” memberi satu angka, tetapi menyembunyikan informasi terpenting: seberapa pasti angka itu? Dua tim dengan sampel berbeda pasti menghasilkan mean berbeda, dan pembaca laporan perlu tahu rentang nilai yang masih masuk akal. Confidence interval menjawab kebutuhan itu dengan mengubah satu titik estimasi menjadi rentang beserta margin of error. Chapter ini membangun CI untuk mean, proporsi, dan selisih dua mean dari rumus dasarnya, lalu memvisualisasikannya sebagai error bar.

CI Mean Ketika Sigma Populasi Diketahui #

Aturannya: mean sampel xbar menyebar mengikuti distribusi normal sekitar mean populasi mu dengan standard error se = sigma / sqrt(n) — sigma adalah simpangan baku populasi. Dengan sigma diketahui (misalnya dari spesifikasi mesin), CI 95% adalah xbar ± 1.96 * se; konstanta 1.96 memotong 2.5% ekor di tiap sisi distribusi normal standar. Margin of error (MoE) adalah setengah lebar interval.

matlab 
sampel = [249.8 251.2 248.6 250.4 249.1 250.9 248.9 251.5 249.6 250.2 ...
          248.8 251.1 249.4 250.7 249.9 250.3 248.5 251.3 249.2 250.8 ...
          249.0 251.6 249.7 250.1 248.7 251.0 249.5 250.5 249.3 250.6 ...
          248.9 251.2 249.8 250.4 249.1 251.4 248.6 250.2 249.9 251.1];
sigma = 1.2;                    % sigma populasi dari spesifikasi mesin
n  = numel(sampel);
xbar = mean(sampel);
se = sigma / sqrt(n);

fprintf('n = %d, xbar = %.4f, se = %.4f\n', n, xbar, se);
for k = [90 95 99]
    if k == 90, z = 1.645; end
    if k == 95, z = 1.960; end
    if k == 99, z = 2.576; end
    moe = z * se;
    fprintf('CI %d%%: [%.4f, %.4f], margin of error = %.4f\n', ...
            k, xbar - moe, xbar + moe, moe);
end

Output yang Dihasilkan:

text 
n = 40, xbar = 250.0200, se = 0.1897
CI 90%: [249.7079, 250.3321], margin of error = 0.3121
CI 95%: [249.6481, 250.3919], margin of error = 0.3719
CI 99%: [249.5312, 250.5088], margin of error = 0.4888

Mari kita bedah baris-baris kode di atas:

  1. Baris 8 (se = sigma / sqrt(n)): standard error menyusut dengan akar ukuran sampel — sampel 4 kali lebih besar hanya mempersempit interval 2 kali lipat.
  2. Baris 11-14 (for k = [90 95 99]): satu loop menghasilkan tiga tingkat kepercayaan; konstanta z dibanding 1.645, 1.960, dan 2.576 masing-masing untuk 90%, 95%, dan 99%.
  3. Baris 16-17 (fprintf ... moe): interval dicetak beserta MoE-nya, sehingga pembaca laporan langsung melihat presisi estimasi.

Perhatikan pertukarannya: keyakinan 99% dibayar dengan interval 31% lebih lebar daripada CI 95% — keyakinan bertambah, presisi justru berkurang.

Interpretasi yang Benar #

Interpretasi yang benar berbunyi: kalau eksperimen yang sama diulang berkali-kali dan setiap kali dibangun CI 95%, maka sekitar 95% dari interval yang terbentuk akan mengandung mean populasi. Interval yang sudah terhitung dari data kita hanyalah satu realisasi dari proses itu — mean populasi tidak berubah-ubah, dan tidak ada “peluang 95% mean berada di interval ini” setelah intervalnya ditetapkan.

CI Proporsi #

Untuk data biner (puas/tidak puas), estimasi proporsi phat = x/n dan standard error-nya sqrt(phat*(1-phat)/n). Survey 400 responden menemukan 320 puas terhadap layanan:

matlab 
nResp = 400;  nPuas = 320;
phat = nPuas / nResp;
seP = sqrt(phat * (1 - phat) / nResp);
fprintf('phat = %.4f, CI 95%%: [%.4f, %.4f]\n', ...
        phat, phat - 1.96*seP, phat + 1.96*seP);

% ukuran sampel agar margin of error 3%
nMin = ceil(1.96^2 * 0.25 / 0.03^2);
fprintf('n minimal untuk MoE 3%%: %d responden\n', nMin);

Output yang Dihasilkan:

text 
phat = 0.8000, CI 95%: [0.7608, 0.8392]
n minimal untuk MoE 3%: 1068 responden

Estimasi 80% dilaporkan dengan rentang ±3.9 poin persentase. Rumus nMin membalik logika MoE: karena phat*(1-phat) maksimum 0.25 pada phat = 0.5, survei nasional dengan presisi ±3% membutuhkan sekitar 1068 responden — tidak peduli ukuran populasi.

CI Selisih Dua Mean #

Kedua uji coba bohlam menunjukkan mean 51.79 dan 50.26 jam. Pertanyaan yang berguna bukan tiap mean, melainkan selisihnya. Dengan pooled variance dari kedua sampel, CI 95% untuk (mu1 - mu2) adalah (m1 - m2) ± t(0.025, df) * sp * sqrt(1/n1 + 1/n2):

matlab 
a = [52.1 51.3 52.8 50.9 51.7 52.4 51.1 52.6 51.5 52.2 50.8 51.9 52.3 51.4 51.8];
b = [50.3 49.8 50.9 49.5 51.1 50.2 49.7 50.6 49.9 51.2 49.4 50.5 50.1 49.9 50.8];
na = numel(a);  nb = numel(b);
ma = mean(a);   mb = mean(b);
sa = std(a);    sb = std(b);
sp = sqrt(((na-1)*sa^2 + (nb-1)*sb^2) / (na + nb - 2));
seD = sp * sqrt(1/na + 1/nb);
tkrit = 2.048;                  % t(0.025, df = 28) dari tabel
selisih = ma - mb;
fprintf('Mean A = %.4f, mean B = %.4f, selisih = %.4f\n', ma, mb, selisih);
fprintf('CI 95%% selisih: [%.4f, %.4f] (df = %d)\n', ...
        selisih - tkrit*seD, selisih + tkrit*seD, na + nb - 2);
if 0 > selisih - tkrit*seD && 0 < selisih + tkrit*seD
    fprintf('Interval memuat 0: kedua mean tidak berbeda signifikan\n');
else
    fprintf('Interval TIDAK memuat 0: kedua mean berbeda signifikan\n');
end

Output yang Dihasilkan:

text 
Mean A = 51.7867, mean B = 50.2600, selisih = 1.5267
CI 95% selisih: [1.0817, 1.9716] (df = 28)
Interval TIDAK memuat 0: kedua mean berbeda signifikan

Interval [1.08, 1.97] tidak memuat nol, jadi pada alpha = 0.05 kedua mean dianggap berbeda — keputusan yang sama dengan uji-t dua sampel. CI dan uji hipotesis memang dua wajah prosedur yang sama; kelebihan CI adalah menyertakan besar efeknya, bukan sekadar putusan signifikan/tidak.

Visualisasi Error Bar #

MATLAB merender CI sebagai error bar lewat errorbar(x, y, yneg, ypos). Kode berikut membandingkan CI 90/95/99 pada satu sumbu — bagian akhir berkas contoh.m:

matlab 
zc    = [1.645 1.960 2.576];
moe   = zc * se;
figure('Visible', 'off');
errorbar(1:3, [xbar xbar xbar], moe, moe, 'o');
xlabel('Tingkat kepercayaan (%)');
ylabel('Berat rata-rata (gram)');
xticks(1:3); xticklabels({'90', '95', '99'});
grid on;
saveas(gcf, 'ci-errorbar.png');
fprintf('\nPlot error bar disimpan ke ci-errorbar.png\n');

Output yang Dihasilkan:

text 
Plot error bar disimpan ke ci-errorbar.png

Grafik memperlihatkan tiga titik pada ketinggian sama 250.02 dengan whisker yang melebar dari ±0.31 ke ±0.49 — trade-off kepastian versus presisi terlihat sekilas. Fungsi errorbar menerima pasangan vektor yneg/ypos sehingga interval asimetris juga bisa digambar.

Ringkasan #

Confidence interval mengganti estimasi titik dengan rentang: CI 95% untuk mean adalah xbar ± 1.96*sigma/sqrt(n) saat sigma diketahui, proporsi memakai se = sqrt(phat(1-phat)/n), dan selisih dua mean memakai pooled standard error. Interpretasi yang benar bicara tentang prosedur berulang — proporsi interval yang mengandung parameter — bukan peluang parameter berada di satu interval tertentu. Interval yang tidak memuat nol ekuivalen dengan uji signifikan pada alpha yang sama, dan errorbar mengubah seluruh angka itu menjadi satu grafik yang mudah dibaca.