Aturan Integral Dasar

Topik ini merangkum aturan integral yang menutup seluruh polinomial dan sebagian fungsi bersusun sederhana, yaitu aturan pangkat, sifat linearitas, dan substitusi. Setiap aturan dilengkapi bentuk rumusnya, contoh penerapannya, serta pemeriksaan silang numerik yang membandingkan hasil antiturunan dengan luas trapesium yang dihitung oleh NumPy. Setelah membaca, integral bentuk-bentuk tersebut dapat diselesaikan di atas kertas terlebih dahulu, lalu kebenarannya dikonfirmasi dengan beberapa baris kode.

Integral tak tentu dan aturan pangkat#

Integral tak tentu (indefinite integral) dari $f$ adalah himpunan seluruh antiturunannya, dan aturan pangkat menyusun antiturunan suku pangkat dengan membalik aturan pangkat pada turunan. Kata tak tentu merujuk pada suku konstanta yang menyertai hasilnya, karena turunan setiap konstanta bernilai nol. Bentuk aturannya adalah

Pangkat dinaikkan satu lalu dibagi pangkat barunya, dan turunan hasil itu mengembalikan suku aslinya. Contoh paling sederhana adalah $\int x^2\,dx = x^3/3 + C$, yang menjadi kebalikan dari perhitungan luas pada topik konsep integral. Syarat $n \neq -1$ diperlukan karena pembagian dengan nol, dan kasus $x^{-1}$ memiliki antiturunan $\ln|x| + C$.

Suku $C$ menandai bahwa antiturunan bukan satu fungsi tunggal, melainkan satu keluarga fungsi yang berbeda nilainya sebesar konstanta. Bentuk kurvanya sama untuk setiap anggota, karena pergeseran vertikal tidak mengubah kemiringannya pada $x$ yang sama. Grafik berikut menggambar lima anggota keluarga $F(x) = x^2/2 + C$, yang saling bergeser secara vertikal tanpa mengubah bentuknya.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 300)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 3))
for C in (-2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0):
    ax.plot(x, x**2 / 2.0 + C, linewidth=1.8, label=f"C = {C:+.0f}")
ax.set_ylim(-2.5, 4.5)
ax.set_xlabel("x")
ax.set_ylabel("F(x)")
ax.set_title("Keluarga antiturunan F(x) = x^2/2 + C")
ax.legend(loc="upper left", fontsize=8)
fig.savefig("keluarga-antiturunan.svg")

Keluarga kurva pada gambar semuanya memiliki turunan $x$, sehingga setiap anggotanya sah sebagai antiturunan. Ketika integral tentu dihitung melalui $F(b) - F(a)$, konstanta $C$ saling menghapus, sehingga pilihan anggota keluarga tidak mengubah nilai integralnya. Konstanta justru menentukan posisi mutlak ketika antiturunan digunakan untuk menyusun persamaan yang memiliki syarat awal.

Sifat linearitas dan integral polinomial#

Integral mengikuti sifat linearitas yang memecah penjumlahan dan pengali konstanta, persis seperti pada turunan. Konstanta $a$ dan $b$ pada rumus berikut boleh bernilai apa pun, termasuk negatif,

Gabungan aturan pangkat dan linearitas menutup seluruh polinomial, karena setiap sukunya dikerjakan terpisah. Sebagai contoh, $\int (3x^2 + 4x)\,dx = x^3 + 2x^2 + C$, yang diperoleh dengan mengintegral tiap suku. Program berikut memeriksa hasil tersebut dari dua arah, yaitu membandingkan $F(b) - F(a)$ dengan luas trapesium, dan memastikan turunan numerik $F$ mengembalikan integrannya.

import numpy as np

# f(x) = 3x^2 + 4x dengan antiturunan F(x) = x^3 + 2x^2 + C
def f(x):
    return 3.0 * x**2 + 4.0 * x

def F(x):
    return x**3 + 2.0 * x**2

a, b = 1.0, 3.0
eksak = F(b) - F(a)

x = np.linspace(a, b, 1001)
trapesium = np.trapezoid(f(x), x)

h = 1e-6
x0 = 2.0
turunan_F = (F(x0 + h) - F(x0 - h)) / (2.0 * h)

print(f"{'F(b) - F(a) pada [1, 3]': <26}: {eksak:.6f}")
print(f"{'trapesium 1000 keping': <26}: {trapesium:.6f}")
print(f"{'turunan numerik F di x=2': <26}: {turunan_F:.6f}")

F(b) - F(a) pada [1, 3]   : 42.000000
trapesium 1000 keping     : 42.000004
turunan numerik F di x=2  : 20.000000

Nilai $F(b) - F(a)$ sebesar $42$ cocok dengan trapesium hingga lima angka desimal, dan turunan numerik $F$ mengembalikan $20$, tepat sama dengan $f(2) = 3(4) + 4(2)$. Pemeriksaan ganda ini menutup dua kemungkinan kesalahan sekaligus, yaitu antiturunan yang salah dan batas yang tertukar. Cara kerja yang sama berlaku untuk polinomial berapa pun sukunya, sehingga seluruh kelas fungsi itu selesai dengan dua aturan saja.

Substitusi sederhana#

Substitusi (substitution) mengintegral fungsi bersusun dengan membalik aturan rantai, yaitu mengganti bagian dalamnya dengan satu variabel baru $u$ sehingga integralnya menjadi lebih sederhana. Gagasan ini menjadi kunci apabila fungsi bersusun menyertakan turunannya sendiri sebagai faktor pengali. Rumus umumnya adalah

Pada $\int 2x\,(x^2 + 1)^3\,dx$, pilihan $u = x^2 + 1$ memberikan $du = 2x\,dx$, sehingga integralnya menjadi $\int u^3\,du = u^4/4 + C$. Mengembalikan $u$ ke bentuk aslinya menghasilkan $(x^2 + 1)^4/4 + C$. Alur penuhnya digambarkan pada diagram berikut.

Kunci keberhasilan substitusi adalah kehadiran $g'(x)$ sebagai faktor pengali, karena tanpa faktor itu tidak ada yang menjadi $du$. Apabila faktor itu baru terbentuk setelah dikalikan konstanta, konstanta tersebut dikeluarkan dari integral dan sisanya tetap sah. Hasil analitik berikut diperiksa terhadap luas trapesium pada interval $[0, 2]$, yang nilai eksaknya dihitung dari $(5^4 - 1^4)/4$.

import numpy as np

# integrand 2x (x^2 + 1)^3 dijawab dengan substitusi u = x^2 + 1
def integrand(x):
    return 2.0 * x * (x**2 + 1.0) ** 3

a, b = 0.0, 2.0
tutup = ((b**2 + 1.0) ** 4 - (a**2 + 1.0) ** 4) / 4.0

x = np.linspace(a, b, 1001)
trapesium = np.trapezoid(integrand(x), x)

print(f"{'hasil substitusi': <18}: {tutup:.6f}")
print(f"{'trapesium 1000 keping': <18}: {trapesium:.6f}")

hasil substitusi  : 156.000000
trapesium 1000 keping: 156.000483

Kedua nilai cocok sampai lima angka desimal dengan selisih sekitar $5 \times 10^{-4}$, sepadan dengan ketelitian trapesium pada kurva yang menjulang tinggi di ujung kanan intervalnya. Pola pemeriksaan ini berulang untuk substitusi apa pun, yaitu jawaban analitik dibandingkan dengan luas numerik pada interval yang sama. Apabila keduanya menyimpang jauh, pilihan $u$ atau penulisan $du$-nya patut ditinjau ulang.

Demo interaktif: konstanta C dan integral tentu#

Demo berikut menggambar kurva $F(x) = x^2/2 + C$ sesuai nilai $C$ yang digeser, dengan anggota keluarga lainnya tampil sebagai garis tipis. Geser penggeser $C$ dari $-2$ sampai $2$, lalu perhatikan bacaan $F(2) - F(1)$ yang tetap bernilai $1.500$ pada posisi mana pun. Kurva bergerak naik dan turun, tetapi selisih di antara dua titiknya tidak pernah berubah, persis alasan mengapa integral tentu tidak terpengaruh konstanta.

Di mana hal ini ditemui dalam kode#

Aturan pada topik ini bekerja pada jumlah total yang disusun dari laju perubahan. Jarak tempuh yang dihitung dari rumus kecepatan polinomial memerlukan antiturunan, dan konstanta $C$-nya ditetapkan oleh posisi awal yang dicatat, persis perbedaan antara integral tak tentu dan integral tentu. Padanan diskretnya terlihat pada np.cumsum, yaitu jumlah berjalan yang membolak-balik np.diff sebagaimana antiturunan membolak-balik turunan.

Substitusi juga muncul setiap kali perhitungan diubah ke variabel yang lebih mudah dikerjakan. Pergantian variabel pada peluang dan statistik, seperti memindahkan integrasi ke variabel standar, menggunakan prinsip yang sama dengan memilih $u$ dan menghitung $du$-nya. Mengenali pola tersebut mempercepat pekerjaan, karena seluruh polinomial dan fungsi bersusun yang menyertakan turunannya selesai di atas kertas, sedangkan kasus yang tersisa dapat dialihkan ke hampiran numerik seperti trapesium.

Ringkasan#

• Aturan pangkat $\int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1) + C$ membalik aturan pangkat turunan untuk setiap suku dengan $n \neq -1$.
• Sifat linearitas memecah integral penjumlahan menjadi integral tiap suku, sehingga seluruh polinomial selesai suku demi suku.
• Substitusi memilih $u = g(x)$ sehingga faktor $g'(x)\,dx$ menjadi $du$, lalu mengembalikan $u$ pada jawaban akhir.
• Setiap hasil antiturunan diverifikasi dengan membandingkan $F(b) - F(a)$ dengan luas trapesium np.trapezoid.

Referensi#

• Calculus Volume 1, 4.10 Antiderivatives — OpenStax — Aturan antiturunan dasar beserta peran suku C pada keluarga solusinya.
• Calculus Volume 1, 5.5 Substitution — OpenStax — Substitusi sebagai kebalikan aturan rantai dengan contoh pemilihan u.
• numpy.cumsum — NumPy — Dokumentasi jumlah berjalan sebagai padanan diskret dari integral tak tentu.