Menyelesaikan Persamaan Linear

Persamaan linear satu variabel adalah pernyataan kesamaan yang memuat tepat satu variabel berpangkat satu, misalnya $4(x - 2) = 2x + 6$. Topik ini membahas prinsip keseimbangan yang mendasari setiap langkah penyelesaian, urutan langkah untuk mengisolasi variabel, serta kasus khusus ketika persamaan tidak memiliki solusi atau memiliki solusi berjumlah tak hingga. Setiap hasil penyelesaian diverifikasi dengan substitusi numerik menggunakan NumPy, sehingga kebenarannya terukur dan bukan sekadar tampak benar.

Persamaan sebagai timbangan#

Persamaan berperilaku seperti timbangan yang seimbang. Ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama, dan tanda sama dengan menyatakan keseimbangan itu. Agar keseimbangan terjaga, operasi apa pun yang diterapkan pada satu ruas wajib diterapkan juga pada ruas lainnya. Menambahkan 5, mengurangi $2x$, mengalikan dengan 3, atau membagi dengan 2 pada kedua ruas tidak mengubah penyelesaian persamaan.

Prinsip ini memberi arah yang jelas untuk menyelesaikan persamaan, yaitu melepas bagian yang menempel pada variabel dengan operasi kebalikannya, sambil menjalankan operasi yang sama pada kedua ruas. Gambar berikut memodelkan persamaan $4(x - 2) = 2x + 6$ sebagai timbangan yang seimbang.

Operasi pada kedua ruas boleh dipilih bebas, tetapi pilihan yang tepat memperpendek proses. Mengurangi $2x$ dari kedua ruas menghilangkan variabel di ruas kanan, sedangkan menambahkan 8 menghilangkan konstanta negatif di ruas kiri. Urutan pengerjaan keduanya dibahas pada bagian berikut.

Langkah mengisolasi variabel#

Menyelesaikan persamaan linear berarti mengubah bentuknya menjadi $x = \text{nilai}$ melalui serangkaian langkah yang tersusun. Tujuan setiap langkah adalah mendekatkan persamaan pada bentuk itu, yaitu variabel sendirian di satu ruas dan bilangan di ruas lainnya. Urutan berikut berlaku umum untuk persamaan linear satu variabel.

1. Uraikan seluruh tanda kurung menggunakan sifat distribusi.
2. Kumpulkan semua suku yang memuat variabel ke satu ruas dan semua konstanta ke ruas lain.
3. Gabungkan suku sejenis pada masing-masing ruas.
4. Bagi kedua ruas dengan koefisien variabel.

Diterapkan pada $4(x - 2) = 2x + 6$, langkah pertama menghasilkan $4x - 8 = 2x + 6$. Langkah kedua mengurangi $2x$ dari kedua ruas dan menambahkan 8 pada kedua ruas. Langkah ketiga menggabungkan suku sejenis, sehingga diperoleh $2x = 14$. Langkah keempat membagi kedua ruas dengan 2 dan memberikan solusi $x = 7$. Seluruh langkah hanya menggunakan prinsip keseimbangan, sehingga kesamaan terjaga dari awal sampai akhir.

Solusi tidak ada atau tak hingga#

Manipulasi aljabar yang benar tidak selalu menghasilkan satu solusi. Persamaan $2x + 3 = 2x + 5$, setelah $2x$ dikurangkan dari kedua ruas, menjadi $3 = 5$. Pernyataan itu salah untuk nilai $x$ mana pun, sehingga persamaannya tidak memiliki solusi. Sebaliknya, persamaan $3(x + 1) = 3x + 3$, setelah tanda kurung diuraikan dan suku sejenis dikurangkan, menjadi $0 = 0$. Pernyataan itu benar untuk setiap nilai $x$, sehingga solusinya berjumlah tak hingga.

Kedua kasus tersebut bukan keanehan matematis semata. Program yang memecahkan persamaan perlu menanganinya secara eksplisit, karena melanjutkan perhitungan pada persamaan tanpa solusi menghasilkan keluaran yang menyesatkan. NumPy memperlihatkan perbedaannya secara nyata. Persamaan yang ditulis dalam bentuk baku $ax + b = 0$ dengan $a = 0$ tidak memberikan akar apa pun, seperti pada potongan kode berikut.

import numpy as np

akar_unik = np.roots([2, -14])
print("akar 2x - 14 = 0 :", akar_unik)
print("akar 0x - 2  = 0 :", np.roots([0, -2]))

akar 2x - 14 = 0 : [7.]
akar 0x - 2  = 0 : []

Baris pertama menunjukkan bahwa persamaan $2x - 14 = 0$ memiliki tepat satu akar, yaitu 7. Baris kedua menghasilkan array kosong yang menyatakan persamaan $0x - 2 = 0$ tidak memiliki solusi. Program yang menggunakan hasil ini perlu memeriksa panjang array sebelum mengambil nilainya.

Verifikasi solusi dengan substitusi#

Solusi persamaan dapat diuji tanpa mengulang seluruh langkah aljabar. Caranya adalah substitusi, yaitu memasukkan nilai solusi ke kedua ruas, lalu membandingkan hasilnya. Apabila kedua ruas bernilai sama, solusi tersebut benar. Selisih kedua ruas setelah substitusi disebut sisa (residual), dan untuk persamaan linear, sisa dari solusi yang benar bernilai nol.

Substitusi menjadi kebiasaan kerja yang murah pada pemrograman karena yang menghitung adalah komputer, bukan pembaca. Berikut pengujian solusi $x = 7$ untuk persamaan $4(x - 2) = 2x + 6$.

import numpy as np

x = np.roots([2, -14])[0]
print("x         =", x)
print("4*(x - 2) =", 4 * (x - 2))
print("2*x + 6   =", 2 * x + 6)
print("sisa      =", abs(4 * (x - 2) - (2 * x + 6)))

x         = 7.0
4*(x - 2) = 20.0
2*x + 6   = 20.0
sisa      = 0.0

Kedua ruas bernilai 20.0 pada $x = 7$ dan sisanya 0.0, sehingga solusi terverifikasi. Pada perhitungan yang melibatkan pembulatan, sisa jarang bernilai nol persis dan cukup dibandingkan dengan toleransi kecil menggunakan np.allclose.

Di mana hal ini ditemui dalam kode#

Persamaan linear muncul setiap kali satu nilai tidak diketahui dan sisanya diketahui. Rumus konversi suhu $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ diperoleh dengan menyelesaikan persamaan linear yang menghubungkan dua skala suhu pada dua titik acuan. Kalibrasi sensor suhu bekerja dengan pola serupa. Hubungan antara pembacaan mentah dan suhu sebenarnya dimodelkan sebagai $y = ar + b$. Parameter $a$ dan $b$ ditentukan dari dua pengukuran, kemudian pembacaan mentah dihitung mundur melalui $r = \frac{y - b}{a}$. Pola yang sama digunakan untuk menghitung durasi dari jarak dan kecepatan, jumlah unit dari biaya tetap dan biaya per unit, serta tarif dari total dan komponen tetapnya. Dalam kode, penyelesaian satu persamaan linear hanya membutuhkan satu pembagian setelah bentuk bakunya diperoleh, dan verifikasinya cukup dengan satu substitusi.

Ringkasan#

• Persamaan dijaga seimbang dengan menerapkan operasi yang sama pada kedua ruas.
• Urutan menyelesaikan persamaan linear adalah distribusi, pemisahan suku variabel dan konstanta, penggabungan suku sejenis, lalu pembagian dengan koefisien.
• Persamaan yang berakhir pada pernyataan salah tidak memiliki solusi, sedangkan yang berakhir pada pernyataan benar memiliki solusi berjumlah tak hingga.
• Solusi diuji dengan substitusi, dan sisa bernilai nol menyatakan solusi benar.

Referensi#

• Dokumentasi NumPy 2.1 — NumPy — Rujukan fungsi np.roots yang menghitung akar polinomial, termasuk persamaan linear berbentuk baku.
• Latihan aljabar — Khan Academy — Materi dan latihan penyelesaian persamaan linear satu variabel secara bertahap.