Lemparkan dadu sepuluh kali dan rata-ratanya bisa jauh dari 3,5 — mungkin 2,8, mungkin 4,1. Lemparkan lima ribu kali dan rata-ratanya nyaris pasti berdiri di 3,5. Kestabilan inilah yang membuat kasino, asuransi, dan perusahaan survei bisa berbisnis: mereka tahu bahwa dalam jumlah besar, ketidakpastian kecil saling menetralkan. Pada chapter ini kita buktikan Hukum Bilangan Besar (Law of Large Numbers) lewat simulasi dadu kumulatif, lalu kita periksa batas-batas jaminannya — kapan hukum ini berlaku dan kapan ia justru disalahpahami.

Rata-rata Kumulatif Menuju Nilai Harapan #

Hukum Bilangan Besar berbunyi sederhana: jika kita mengamati variabel acak yang saling bebas dan identik (independently and identically distributed, disingkat i.i.d.) dengan nilai harapan μ, maka rata-rata kumulatif dari n pengamatan akan menuju μ seiring n membesar. Pada dadu, μ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 — angka yang menariknya tidak pernah muncul di dadu, tetapi justru menjadi titik jangkar seluruh permainan.

Kita buktikan dengan 5.000 lemparan simulasi dan mencatat rata-rata kumulatifnya pada beberapa titik:

python 
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)
lemparan = rng.integers(1, 7, size=5000)   # sisi dadu 1-6

print(f"{'n':>6} {'rata-rata kumulatif':>20}")
for n in (10, 50, 100, 500, 1000, 5000):
    print(f"{n:>6} {lemparan[:n].mean():>20.3f}")
print()
print("Nilai harapan dadu =", (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6)

Output yang Dihasilkan:

text 
     n  rata-rata kumulatif
    10                3.100
    50                3.760
   100                3.640
   500                3.452
  1000                3.488
  5000                3.487

Nilai harapan dadu = 3.5

Mari kita telaah hasilnya:

  1. Baris 4 (rng.integers(1, 7, size=5000)): lima ribu lemparan dadu diundi sekaligus; batas atas 7 dikecualikan sehingga hasilnya bilangan bulat 1 sampai 6.
  2. n = 10 → 3,100 dan n = 50 → 3,760: di awal permainan, rata-rata kumulatif berayun lebar — dua titik ini bahkan berpindah arah, turun lalu naik.
  3. n = 5000 → 3,487: setelah ribuan lemparan, rata-rata kumulatif hanya terpaut 0,013 dari nilai harapan 3,5. Pergeserannya tidak lagi signifikan secara praktis.

Perjalanan menuju kestabilan itu paling jelas terlihat lewat grafik rata-rata kumulatif:

python 
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

rng = np.random.default_rng(42)
lemparan = rng.integers(1, 7, size=5000)
rata2_kumulatif = np.cumsum(lemparan) / np.arange(1, 5001)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))
ax.plot(np.arange(1, 5001), rata2_kumulatif, color="#2563eb")
ax.axhline(3.5, color="crimson", linestyle="--")
ax.set_xscale("log")
ax.set_xlabel("Banyak lemparan (skala log)")
ax.set_ylabel("Rata-rata kumulatif")
ax.set_title("Rata-rata kumulatif lemparan dadu menuju 3,5")
plt.show()

Grafik yang dihasilkan menyerupai corong: pada sepuluh lemparan pertama (sisi kiri) garis biru melompat-lompat antara sekitar 2,7 hingga 3,8, lalu ayunannya mengecil seiring bertambahnya n, dan akhirnya garis menempel nyaris rata pada garis putus-putus merah di nilai 3,5. Sumbu horizontal memakai skala logaritmik agar daerah awal yang bergolak tetap terlihat jelas.

Dua Lintasan Berbeda, Satu Titik Jangkar #

Konvergensi menuju 3,5 tidak berarti setiap lintasan bergerak mulus. Dua simulasi dengan seed berbeda menghasilkan dua kisah awal yang berbeda pula:

python 
import numpy as np

for seed in (42, 123):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    lemparan = rng.integers(1, 7, size=1000)
    print(f"seed {seed}: n=10 -> {lemparan[:10].mean():.2f} | "
          f"n=100 -> {lemparan[:100].mean():.2f} | "
          f"n=1000 -> {lemparan.mean():.2f}")

Output yang Dihasilkan:

text 
seed 42: n=10 -> 3.10 | n=100 -> 3.64 | n=1000 -> 3.49
seed 123: n=10 -> 2.80 | n=100 -> 3.40 | n=1000 -> 3.46

Lintasan pertama dibuka dengan 3,10 lalu justru menjauh ke 3,64 sebelum kembali; lintasan kedua dibuka lebih rendah di 2,80. Keduanya berbeda di awal, tetapi keduanya berakhir di 3,49 dan 3,46 — sama-sama dekat 3,5. Pelajarannya ada dua. Pertama, konvergensi tidak monoton: rata-rata kumulatif boleh menjauh dulu dari μ sebelum mendekat. Kedua, hukum ini berbicara tentang perilaku jangka panjang, bukan janji untuk n kecil — sampel 10 lemparan yang “melenceng” bukan tanda kecurangan, melainkan perilaku normal acak.

Syarat dan Salah Paham yang Umum #

Hukum Bilangan Besar hanya berlaku bila syaratnya terpenuhi: pengamatan saling bebas, berasal dari proses yang sama, dan memiliki nilai harapan yang hingga (tidak tak berhingga). Tiga syarat itu sering dilanggar diam-diam di dunia data. Data deret waktu yang saling bergantung, populasi yang bergeser selama pengambilan sampel (misalnya perilaku pelanggan sebelum dan sesudah diskon besar), atau distribusi berekor tebal seperti kekayaan bersih menjungkirbalikkan intuisi rata-rata.

Dengan jaminan bahwa rata-rata sampel besar mendarat di μ, satu pertanyaan tersisa untuk melengkapi peralatan inferensi: bagaimana bentuk sebaran rata-rata sampel tersebut? Hukum Bilangan Besar menjawab ke mana ia menuju; Teorema Limit Pusat menjawab bentuk apa yang ditempuhnya — dan jawabannya mengejutkan: kurva lonceng, hampir selalu.

Rangkuman #

  • Hukum Bilangan Besar: rata-rata kumulatif pengamatan i.i.d. menuju nilai harapan μ seiring n membesar — dibuktikan simulasi dadu yang mendarat di 3,487 untuk 5.000 lemparan.
  • Konvergensi tidak monoton dan lambat di awal; dua seed berbeda menghasilkan lintasan awal berbeda menuju jangkar yang sama.
  • Syaratnya ketat: kebebasan antar-pengamatan, proses yang sama, dan nilai harapan yang hingga.
  • Hukum ini menjamin perilaku jangka panjang, bukan hasil satu lemparan berikutnya; dadu tidak mengoreksi masa lalu.

Kita tahu rata-rata sampel pasti menuju μ. Seberapa teratur perjalanannya? Chapter berikutnya, Teorema Limit Pusat, mengungkap bahwa sebaran rata-rata sampel mengikuti kurva lonceng — bahkan ketika datanya sendiri tidak berdistribusi normal sama sekali.

Referensi #

  1. NumPy — numpy.mean
  2. SciPy — scipy.stats: Statistical Functions