Estimasi Parameter

Kita hampir tidak pernah mengenal populasi sepenuhnya. Jumlah seluruh pelanggan, nilai rata-rata sebenarnya, proporsi sesungguhnya — semuanya parameter yang tersembunyi di balik data yang sanggup kita kumpulkan. Estimasi parameter adalah seni memperkirakan nilai tersembunyi itu dengan satu angka dari sampel. Pada chapter ini kita kenal estimator titik (point estimate), memeriksa sifat tanpa bias (unbiased) lewat simulasi, dan meluruskan kebingungan klasik antara s dan σ — dua simbol yang sering tertukar tetapi maknanya jauh berbeda.

Titik Estimasi: Satu Angka untuk Satu Parameter #

Titik estimasi adalah satu nilai dari sampel yang kita ajukan sebagai perkiraan terbaik bagi parameter populasi. Pasangan parameter dan estimatornya sudah menjelma kosakata baku statistika:

Parameter populasi (dicari)	Estimator dari sampel	Contoh pada data siswa
Rata-rata μ	xbar	Rata-rata nilai 15 siswa terundi
Simpangan baku σ	s	Simpangan baku sampel (pembagi n − 1)
Proporsi p	phat	Porsi siswa yang lulus dari sampel
Varians σ²	s²	Kuadrat dari s

Perkiraan titik memang rapat dan mudah dikutip, tetapi satu angka selalu menyembunyikan ketidakpastian: sampel lain akan menghasilkan xbar lain. Karena itu bab ini sengaja menempatkan estimasi titik sebagai setengah cerita — setengah lainnya, berupa rentang kepercayaan, menyusul pada chapter Interval Kepercayaan.

Tanpa Bias: Membidik di Tengah Target #

Estimator yang baik pertama-tama harus tanpa bias: bila pengambilan sampel diulang berkali-kali, rata-rata dari seluruh perkiraan harus mendarat tepat di nilai parameter yang dituju. Ini bukan janji untuk satu sampel — satu xbar boleh melenceng — melainkan janji tentang perilaku rata-ratanya dalam jangka panjang. Kita uji janji itu dengan simulasi 2.000 sampel dari populasi 40 nilai ujian yang sudah lengkap:

python
import numpy as np

populasi = np.array([
    55, 62, 58, 71, 64, 60, 67, 73, 59, 66,
    61, 57, 70, 63, 68, 54, 65, 72, 60, 58,
    66, 61, 69, 56, 63, 74, 60, 65, 59, 67,
    62, 57, 66, 64, 61, 68, 58, 63, 60, 65,
])
mu = populasi.mean()
sigma2 = ((populasi - mu) ** 2).mean()

rng = np.random.default_rng(42)
xbar_list, var_n, var_n1 = [], [], []
for _ in range(2000):
    sampel = rng.choice(populasi, size=10, replace=True)
    xbar_list.append(sampel.mean())
    var_n.append(sampel.var())
    var_n1.append(sampel.var(ddof=1))

print(f"mu populasi              : {mu:.3f}")
print(f"sigma^2 populasi         : {sigma2:.3f}")
print(f"rata-rata 2000 xbar      : {np.mean(xbar_list):.3f}")
print(f"rata-rata varians ddof=0 : {np.mean(var_n):.3f}")
print(f"rata-rata varians ddof=1 : {np.mean(var_n1):.3f}")

Output yang Dihasilkan:

text
mu populasi              : 63.175
sigma^2 populasi         : 24.894
rata-rata 2000 xbar      : 63.167
rata-rata varians ddof=0 : 22.244
rata-rata varians ddof=1 : 24.716

Mari kita telaah hasil simulasi ini:

Rata-rata 2.000 xbar = 63,167: nilai ini nyaris menempel pada μ = 63,175. Secara sistematis, xbar membidik tepat ke tengah target — inilah arti estimator tanpa bias, dan penjelasan matematisnya panjang lebar pada dua chapter sebelumnya.
Rata-rata varians ddof = 0 = 22,244: varians sampel yang membagi dengan n justru konsisten lebih kecil daripada σ² = 24,894. Ini bukan kebetulan satu kali; pembagi n membuat estimator condong terlalu rendah (bias), karena deviasinya dihitung dari xbar — pusat sampel — bukan dari μ yang sebenarnya.
Rata-rata varians ddof = 1 = 24,716: dengan pembagi n − 1, hasil rata-ratanya pulih ke dekat 24,894. Koreksi satu derajat kebebasan inilah yang membuat s² menjadi estimator varians yang tanpa bias.

Satu Sampel Nyata: xbar, s, dan phat #

Di dunia nyata kita hanya punya satu sampel, bukan dua ribu. Berikut satu undian 15 siswa dari populasi yang sama, lengkap dengan tiga perkiraan titiknya:

python
import numpy as np

populasi = np.array([
    55, 62, 58, 71, 64, 60, 67, 73, 59, 66,
    61, 57, 70, 63, 68, 54, 65, 72, 60, 58,
    66, 61, 69, 56, 63, 74, 60, 65, 59, 67,
    62, 57, 66, 64, 61, 68, 58, 63, 60, 65,
])
rng = np.random.default_rng(42)
sampel = rng.choice(populasi, size=15, replace=False)

print("Sampel 15 siswa:", sampel.tolist())
print(f"xbar (estimasi mu)        : {sampel.mean():.3f}")
print(f"s (estimasi sigma, ddof=1): {sampel.std(ddof=1):.3f}")
print(f"phat (proporsi >= 70)     : {(sampel >= 70).mean():.3f}")

Output yang Dihasilkan:

text
Sampel 15 siswa: [58, 71, 60, 60, 67, 59, 57, 65, 70, 60, 67, 68, 66, 56, 58]
xbar (estimasi mu)        : 62.800
s (estimasi sigma, ddof=1): 5.074
phat (proporsi >= 70)     : 0.133

Tiga perkiraan dari satu undian: xbar = 62,8 (μ sebenarnya 63,175), s = 5,07 (σ sebenarnya 4,99), dan phat = 0,133 untuk siswa bernilai 70 ke atas. Semuanya meleset sedikit dari parameter aslinya — dan justru itu intinya. Satu sampel tidak pernah memberi kepastian; ia memberi perkiraan terbaik plus kesadaran bahwa di baliknya tersebar seluruh kemungkinan sampel lain. Kalimat jujurnya berbunyi: “kita menduga μ sekitar 62,8”, bukan “μ adalah 62,8”.

s versus σ: Dua Simbol yang Tidak Boleh Tertukar #

Kerancuan paling mahal bagi pemula adalah memperlakukan s seolah-olah σ. Padahal keduanya berdiri di posisi berbeda dalam peta statistika: σ adalah parameter — bilangan tetap milik populasi yang tidak kita ketahui; s adalah statistik — perkiraan yang berubah tiap sampel. Saat σ diketahui (misalnya mesin pengemas menyatakan galat baku 1,8 gram), perhitungan inferensi memakai σ dan distribusi z. Saat σ tidak diketahui (hampir semua kasus lapangan), kita menggantinya dengan s dan distribusi berubah menjadi t — dengan ekor sedikit lebih tebal sebagai imbal jasa ketidakpastian tambahan.

Rangkuman #

Titik estimasi memetakan parameter populasi (μ, σ, p) ke padanannya di sampel (xbar, s, phat).
Estimator tanpa bias berarti rata-rata dari seluruh kemungkinan perkiraan mendarat di parameter: simulasi 2.000 sampel menunjukkan rata-rata xbar = 63,167 untuk μ = 63,175.
Varians sampel dengan pembagi n condong terlalu kecil; pembagi n − 1 (ddof=1) memperbaikinya menjadi tanpa bias.
σ adalah parameter populasi; s adalah perkiraannya dari sampel — perbedaan keduanya menentukan pilihan distribusi z atau t pada inferensi.

Perkiraan titik menyalakan lampu, tetapi tidak menunjukkan luas ruangannya. Berapa jauh xbar = 62,8 boleh dipercaya? Pertanyaan itu dijawab dengan memberi rentang di sekeliling perkiraan — teknik yang menjadi judul chapter berikutnya: Interval Kepercayaan.