Distribusi Sampling

Ketika kita mengambil satu sampel dan menghitung rata-ratanya, angka yang keluar terasa pasti — padahal angka itu hanyalah satu undian dari lautan kemungkinan. Sampel berbeda akan memberi rata-rata berbeda. Pada chapter ini kita bedah fakta tersebut lewat simulasi: mengambil ratusan sampel dari satu populasi yang sama, mengamati sebaran rata-rata-rata-rata tersebut, lalu memperkenalkan ukuran sebarannya — galat standar (standard error). Konsep ini adalah fondasi bagi interval kepercayaan dan uji hipotesis di depan.

Statistik juga Punya Sebaran #

Kita sudah mengenal bedanya populasi dan sampel: populasi adalah seluruh objek yang ingin kita simpulkan, sampel adalah bagian yang benar-benar kita ukur. Kini tambahkan satu lapis lagi. Nilai yang dihitung dari sampel — rata-rata sampel, proporsi sampel, simpangan baku sampel — disebut statistik. Karena sampel diambil secara acak, statistik juga adalah besaran acak yang berubah dari sampel ke sampel:

Distribusi sampling adalah kumpulan nilai statistik dari seluruh sampel berukuran n yang mungkin diambil, beserta peluang kemunculannya. Tidak ada yang benar-benar mengambil semua sampel itu di dunia nyata — tetapi dengan komputer, kita bisa mengambil cukup banyak sampel untuk melihat bentuk sebarannya secara empiris.

Simulasi: Ratusan Sampel dari Satu Populasi #

Bayangkan sebuah sekolah memiliki 40 siswa kelas akhir dengan nilai ujian sebagai “populasi”. Nilai rata-rata dan simpangan baku populasi bisa kita hitung penuh karena datanya lengkap. Lalu kita undang 5 siswa secara acak, catat rata-rata nilainya, kembalikan, dan ulangi 500 kali:

import numpy as np

populasi = np.array([
    55, 62, 58, 71, 64, 60, 67, 73, 59, 66,
    61, 57, 70, 63, 68, 54, 65, 72, 60, 58,
    66, 61, 69, 56, 63, 74, 60, 65, 59, 67,
    62, 57, 66, 64, 61, 68, 58, 63, 60, 65,
])
mu = populasi.mean()
sigma = populasi.std()

print(f"Ukuran populasi          : {populasi.size} siswa")
print(f"Rata-rata populasi (mu)  : {mu:.3f}")
print(f"Simpangan baku (sigma)   : {sigma:.3f}")

rng = np.random.default_rng(42)
rata2 = [rng.choice(populasi, size=5, replace=True).mean() for _ in range(500)]
print()
print("Lima xbar pertama :", [round(float(x), 1) for x in rata2[:5]])
print(f"Rata-rata 500 xbar        : {np.mean(rata2):.3f}")
print(f"SE empiris (sd 500 xbar)  : {np.std(rata2, ddof=1):.3f}")
print(f"SE teoretis  sigma/akar(5): {sigma / 5**0.5:.3f}")

Output yang Dihasilkan:

Ukuran populasi          : 40 siswa
Rata-rata populasi (mu)  : 63.175
Simpangan baku (sigma)   : 4.989

Lima xbar pertama : [67.4, 65.4, 62.8, 61.4, 65.4]
Rata-rata 500 xbar        : 63.308
SE empiris (sd 500 xbar)  : 2.236
SE teoretis  sigma/akar(5): 2.231

Mari kita telaah kode dan hasilnya:

1. Baris 17 (rng = np.random.default_rng(42)): generator acak dibekali seed 42 sehingga simulasi ini dapat dijalankan ulang dengan hasil yang persis sama.
2. Baris 18 (rng.choice(...)): satu sampel berisi 5 siswa diundi dengan pengembalian (replace=True) — model yang membuat rumus galat standar berlaku langsung tanpa koreksi. Lima rata-rata sampel pertama (67,4; 65,4; 62,8; …) memperlihatkan betapa bergesernya xbar dari satu sampel ke sampel lain.
3. Rata-rata 500 xbar = 63,308: pusat sebaran xbar jatuh dekat μ = 63,175. Secara sistematis, rata-rata sampel membidik rata-rata populasi — sifat yang akan kita bahas resmi pada chapter Estimasi Parameter.
4. SE empiris 2,236: simpangan baku dari 500 nilai xbar jauh lebih kecil daripada σ = 4,989. Rata-rata sampel lebih “tenang” daripada data satu per satu — inilah inti distribusi sampling.

Galat Standar: Seberapa Jauh xbar Bisa Melenceng #

Sebaran rata-rata sampel punya simpangan baku sendiri yang disebut galat standar (standard error, disingkat SE). Untuk rata-rata sampel berukuran n dari populasi dengan simpangan baku σ, rumusnya ringkas:

SE = σ / √n

Rumus ini menghubungkan dua fakta penting: populasi yang makin beragam (σ besar) menghasilkan perkiraan yang makin melesat, sedangkan sampel yang makin besar membuat perkiraan makin rapat ke μ. Simulasi berikut menguji rumus itu pada tiga ukuran sampel sekaligus:

import numpy as np

populasi = np.array([
    55, 62, 58, 71, 64, 60, 67, 73, 59, 66,
    61, 57, 70, 63, 68, 54, 65, 72, 60, 58,
    66, 61, 69, 56, 63, 74, 60, 65, 59, 67,
    62, 57, 66, 64, 61, 68, 58, 63, 60, 65,
])
sigma = populasi.std()
rng = np.random.default_rng(42)

print(f"{'n':>3} {'SE empiris':>12} {'SE teoretis':>12}")
for n in (5, 10, 25):
    rata2 = [rng.choice(populasi, size=n, replace=True).mean() for _ in range(500)]
    print(f"{n:>3} {np.std(rata2, ddof=1):>12.3f} {sigma / n**0.5:>12.3f}")

Output yang Dihasilkan:

  n   SE empiris  SE teoretis
  5        2.236        2.231
 10        1.527        1.578
 25        0.969        0.998

Kolom SE empiris dan SE teoretis saling berimpit dengan selisih di bawah 0,05 — bukti bahwa rumus σ/√n benar-benar merangkum hasil simulasi. Perhatikan pula pola penurunannya: melipatgandakan n dari 5 menjadi 25 (lima kali lebih besar) hanya memperkecil SE dari 2,23 menjadi 1,00 (sekitar 2,2 kali lebih kecil). Penurunan SE mengikuti akar: memangkas galat setengahnya menuntut sampel empat kali lipat.

Dari Sebaran Menuju Inferensi #

Distribusi sampling mengubah cara kita membaca hasil survei. Ketika sebuah sampel 25 pelanggan memberi rata-rata belanja tertentu, kita tahu perkiraan itu memiliki sebaran sendiri dengan SE sekitar σ/5 — sehingga kesimpulan yang jujur selalu berbentuk rentang, bukan satu angka. Dua pertanyaan lanjutan mengikuti: apakah rata-rata sampel pasti membidik μ jika diulang terus (jawabannya dijamin oleh Hukum Bilangan Besar), dan apa bentuk distribusi samplingnya jika populasinya tidak normal (dijawab Teorema Limit Pusat). Kita mulai dari yang pertama.

Rangkuman #

• Statistik sampel (xbar, s, proporsi) adalah besaran acak; sebarannya dari semua sampel berukuran sama disebut distribusi sampling.
• Simulasi 500 sampel memperlihatkan dua fakta: pusat sebaran xbar berada di μ, dan sebarannya jauh lebih sempit daripada sebaran data asli.
• Galat standar SE = σ/√n mengukur seberapa jauh xbar lazimnya melenceng dari μ; simulasi empiris cocok dengan rumus.
• Ukuran sampel menekan SE sebanding dengan √n: empat kali data hanya memangkas galat menjadi setengahnya.

Rata-rata sampel memang bergerak naik-turun di sekitar μ, tetapi seberapa cepat sebarannya menyempit seiring pengambilan data bertambah-tambah? Untuk itu kita butuh satu hukum besar yang mengikat permainan acak dalam jangka panjang — bahasan chapter Hukum Bilangan Besar.

Referensi #

1. NumPy — numpy.mean
2. SciPy — scipy.stats: Statistical Functions